Assuma como circular a órbita dos planetas ao redor do Sol. O raio da órbita da Terra ao redor do sol é de 1,5 times 10^8 km e seu período de 365 dias. O raio da órbita de Mercúrio é de 5,8 times 10^7 km, e seu período é de 88 dias. Qual a razão entre a aceleração radial Terra e de Mercúrio?
(a) 0.10
(b) 0.15
© 0.20
(d) 0.25
(e) 0.30

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre as órbitas dos planetas ao redor do Sol, especificamente a Terra e Mercúrio. Queremos descobrir qual é a razão entre a aceleração radial da Terra e a de Mercúrio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e aceleração centrípeta. Vamos precisar das fórmulas que relacionam velocidade, raio da órbita e aceleração radial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração radial ou aceleração centrípeta. Quando um objeto se move em uma trajetória circular, ele precisa de uma aceleração que sempre aponta para o centro da curva para manter essa trajetória. A fórmula para calcular essa aceleração é:
ar = v^2r
onde:
  • $ a_r $ é a aceleração radial,
  • $ v $ é a velocidade orbital,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade orbital ($ v v êóíçãê C $) de uma órbita circular é dada por:
C
E a velocidade orbital é:
C = 2pi r
onde:
  • $ T $ é o período de revolução.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade e a aceleração radial para a Terra:
  • Raio da órbita da Terra: $ r_{Terra} = 1,5 \times 10^8 , km $
  • Período da Terra: $ T_{Terra} = 365 , dias $
Primeiro, calculamos a velocidade:
rTerra = 1,5 times 10^8 , km
Agora, a aceleração radial:
TTerra = 365 , dias

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para Mercúrio:
  • Raio da órbita de Mercúrio: $ r_{Mercúrio} = 5,8 \times 10^7 , km $
  • Período de Mercúrio: $ T_{Mercúrio} = 88 , dias $
Primeiro, a velocidade:
rMercúrio = 5,8 times 10^7 , km ú
E a aceleração radial:
TMercúrio = 88 , dias úúú

Passo 6

Agora, vamos calcular a razão entre as acelerações radiais da Terra e de Mercúrio:
Razão = arTerraarMercúrio ãú
Fazendo as contas, chegamos à opção que mais se aproxima desse valor.

Resposta

A razão entre a aceleração radial da Terra e a de Mercúrio é 0,10.

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