Assuma como circular a órbita dos planetas ao redor do Sol. O raio da órbita da Terra ao redor do sol é de
e seu período de 365 dias. O raio da órbita de Mercúrio é de
, e seu período é de 88 dias. Qual a razão entre a aceleração radial Terra e de Mercúrio?
(a) 0.10
(b) 0.15
© 0.20
(d) 0.25
(e) 0.30
(a) 0.10
(b) 0.15
© 0.20
(d) 0.25
(e) 0.30
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre as órbitas dos planetas ao redor do Sol, especificamente a Terra e Mercúrio. Queremos descobrir qual é a razão entre a aceleração radial da Terra e a de Mercúrio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e aceleração centrípeta. Vamos precisar das fórmulas que relacionam velocidade, raio da órbita e aceleração radial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é aceleração radial ou aceleração centrípeta. Quando um objeto se move em uma trajetória circular, ele precisa de uma aceleração que sempre aponta para o centro da curva para manter essa trajetória. A fórmula para calcular essa aceleração é:
onde:
- $ a_r $ é a aceleração radial,
- $ v $ é a velocidade orbital,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a velocidade orbital ($ v
C $) de uma órbita circular é dada por:
E a velocidade orbital é:
onde:
- $ T $ é o período de revolução.
Passo 4
Vamos calcular a velocidade e a aceleração radial para a Terra:
- Raio da órbita da Terra: $ r_{Terra} = 1,5 \times 10^8 , km $
- Período da Terra: $ T_{Terra} = 365 , dias $
Primeiro, calculamos a velocidade:
Agora, a aceleração radial:
Passo 5
Vamos fazer o mesmo para Mercúrio:
- Raio da órbita de Mercúrio: $ r_{Mercúrio} = 5,8 \times 10^7 , km $
- Período de Mercúrio: $ T_{Mercúrio} = 88 , dias $
Primeiro, a velocidade:
E a aceleração radial:
Passo 6
Agora, vamos calcular a razão entre as acelerações radiais da Terra e de Mercúrio:
Fazendo as contas, chegamos à opção que mais se aproxima desse valor.
Resposta
A razão entre a aceleração radial da Terra e a de Mercúrio é 0,10.