Calcule o campo elétrico de um anel circular fino, de densidade linear de carga
constante, sobre um ponto em seu eixo de simetria
das duas formas a seguir:
a. Utilizando argumentos de simetria, determine qual será, para as componentes
e
do campo elétrico, a soma das contribuiģōes
e
provenientes de todo o anel. Em seguida, integre as contribuições
e determine o vetor campo elétrico num ponto do eixo
. Dica utilize a expresaño
para a intensidade da contribuiçio de cada elemento de carga do anel para o campo elétrico no ponto
.
a. Utilizando argumentos de simetria, determine qual será, para as componentes
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede pra calcular o campo elétrico gerado por um anel circular carregado, pensando num ponto específico que está no eixo de simetria desse anel, lá na direção z. A matéria que estamos lidando aqui é de eletrostática, especificamente com campo elétrico e simetria. Vamos usar a densidade linear de carga constante, λ, e a fórmula da contribuição de cada pedaço de carga no campo elétrico. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas componentes do campo elétrico nos eixos x e y. Como o anel é simétrico em volta do eixo z, cada pedaço de carga em uma posição no anel tem um pedaço de carga diretamente oposto. Essas duas contribuições vão ter componentes x e y que se cancelam, porque são iguais e opostas. Ou seja, quando somamos todas as contribuições ao longo do anel, apenas a componente z vai ficar. Assim, E_x e E_y se somam a zero.
Passo 3
Agora, vamos focar na componente z do campo elétrico. Cada elemento de carga d q’ no anel contribui com uma parte do campo elétrico no ponto (0,0,z). A distância desse elemento até o ponto é d, que podemos encontrar usando o Teorema de Pitágoras. Se o raio do anel é R, então d² = R² + z².
Passo 4
A contribuição de cada carga d q’ para o campo elétrico é dada por:
Como estamos interessados apenas na componente z, multiplicamos essa expressão pelo cosseno do ângulo entre a linha que liga a carga ao ponto e o eixo z. Esse cosseno é:
Então, a contribuição na direção z fica:
Passo 5
Para encontrar o campo total no ponto, a gente integra essa expressão ao redor de todo o anel. A carga total no anel é λ vezes o comprimento do anel, que é 2πR. Então:
Como $ \mathrm{d}s = R \mathrm{d}\theta $ e a integração ao redor do anel dá um fator de $ 2\pi R $, a gente tem:
Passo 6
Simplificando a expressão, o 2π no numerador com o 4π no denominador se reduz a 1/2. Então:
Resposta
O vetor campo elétrico no ponto (0,0,z) é: