- Assuma que existam e são contínuas todas as derivadas que serão consideradas nas funções abaixo. Sabemos da regra da cadeia que se
e
, então teremos
e
Repetindo este argumento, calcule
. Lembre que as derivadas parciais acima estão sendo calculadas em termos de
, isto é, na fórmula acima
Passo 1
O enunciado nos dá
com
de variáveis
e
,
. Já sabemos pela regra da cadeia que
O objetivo é repetir a diferenciação em relação a
para obter
.
Passo 2
Vamos aplicar
ao resultado de
. Como há dois termos produtos, usamos a regra do produto em cada um:
Passo 3
Em cada derivada de produto, fazemos
Analogamente,
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia às derivadas dos parciais:
Como as segundas derivadas mistas são iguais
, podemos combinar termos.
Passo 5
Substituindo tudo em
e agrupando termos semelhantes, obtemos