Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\sin (3 x) \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=\sin(3x)\,\cos\bigl(x^2+y^2\bigr).
Como há um produto de duas funções de x e y, vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar cada fator.

Passo 2

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Definimos
u(x,y)=\sin(3x), \quad v(x,y)=\cos\bigl(x^2+y^2\bigr).
Então
\frac{\partial u}{\partial x} =3\cos(3x), \qquad \frac{\partial v}{\partial x} =-\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)\cdot 2x.
Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial u}{\partial x}\,v +u\,\frac{\partial v}{\partial x} =3\cos(3x)\,\cos\bigl(x^2+y^2\bigr) -2x\,\sin(3x)\,\sin\bigl(x^2+y^2\bigr).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora \sin(3x) é constante em relação a y e
\frac{\partial v}{\partial y} =-\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)\cdot 2y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} =\sin(3x)\,\frac{\partial v}{\partial y} =-2y\,\sin(3x)\,\sin\bigl(x^2+y^2\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =3\cos(3x)\,\cos\bigl(x^2+y^2\bigr) -2x\,\sin(3x)\,\sin\bigl(x^2+y^2\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y} =-2y\,\sin(3x)\,\sin\bigl(x^2+y^2\bigr).

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