Encontre os pontos no hiperboloide x^2+4 y^2-z^2=4 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2 x+2 y+z=5.

Passo 1

O enunciado pede os pontos do hiperboloide x^2+4y^2-z^2=4 cujos planos tangentes são paralelos ao plano dado 2x+2y+z=5. O conteúdo principal é usar que o vetor normal ao plano tangente num ponto é nabla F e que paralelismo de planos significa vetores normais paralelos.

Passo 2

Definimos F(x,y,z)=x^2+4y^2-z^2-4. Assim o vetor normal ao hiperboloide em (x,y,z) é nabla F=(2x,,8y,,-2z).

Passo 3

O plano tangente será paralelo a 2x+2y+z=5 se nabla F for proporcional ao vetor normal deste plano, (2,2,1). Logo existe lambda tal que
(2x,8y,-2z)=lambda(2,2,1)
Dessas igualdades obtemos
x=lambda, y=tfraclambda4, z=-tfraclambda2

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação do hiperboloide
lambda^2+4l(tfraclambda4r)^2-l(-tfraclambda2r)^2=4
vemos que isso reduz a lambda^2=4, ou seja lambda=pm2.

Passo 5

Para lambda=2 e lambda=-2 calculamos x,y,z pelas fórmulas acima, encontrando assim os pontos solicitados.

Resposta

Os pontos são (2,tfrac12,-1) e (-2,-tfrac12,1).

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