Encontre os pontos no hiperboloide
onde o plano tangente é paralelo ao plano
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos do hiperboloide
cujos planos tangentes são paralelos ao plano dado
. O conteúdo principal é usar que o vetor normal ao plano tangente num ponto é
e que paralelismo de planos significa vetores normais paralelos.
Passo 2
Definimos
. Assim o vetor normal ao hiperboloide em
é
.
Passo 3
O plano tangente será paralelo a
se
for proporcional ao vetor normal deste plano,
. Logo existe
tal que
Dessas igualdades obtemos
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação do hiperboloide
vemos que isso reduz a
, ou seja
.
Passo 5
Para
e
calculamos
pelas fórmulas acima, encontrando assim os pontos solicitados.
Resposta
Os pontos são
e
.