Assuma que está fixada uma base ortonormal E=i, j, k em V^3.
Considere os vetores
u=(1,2,-3) e v=(2,1,-2).
(a) Determine um vetor unitário e paralelo ao vetor u+v.
(b) Determine o cosseno do ângulo que u faz com v.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3 numa base ortonormal:
vec u=(1,2,-3) e vec v=(2,1,-2).
Pede (a) um vetor unitário paralelo a vec u+vec v e (b) o cosseno do ângulo entre vec u e vec v.
Vamos usar soma de vetores, norma (módulo) e produto escalar.

Passo 2

Calcular a soma componente a componente:
vec u + vec v = (1+2,,2+1,,-3+(-2)) = (3,3,-5)

Passo 3

Para obter o vetor unitário paralelo, dividimos pelo módulo de vec u+vec v. Primeiro:
|vec u + vec v| = raiz3^2 + 3^2 + (-5)^2 = raiz9 + 9 + 25 = raiz43
Logo o vetor unitário é
vec u + vec v|vec u + vec v| = 1raiz43,(3,3,-5)

Passo 4

Para o cosseno do ângulo usamos
costheta = vec ucdot vec v|vec u|;|vec v|
O produto escalar vale
vec ucdot vec v = 1cdot2 + 2cdot1 + (-3)cdot(-2) = 2 + 2 + 6 = 10

Passo 5

Agora os módulos:
|vec u| = raiz1^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz14, |vec v| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz9 = 3

Passo 6

Substituindo na fórmula:
costheta = 10raiz14;cdot3 = 103raiz14

Resposta

(a) 1raiz43,(3,3,-5)
(b) 103raiz14

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