Encontre o vetor, sem usar determinantes, mas usando propriedades do produto vetorial.
12. (i+k) times(i-k)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial
(i+k) times (i-k)
sem usar determinantes, mas usando a propriedade distributiva e anticomutativa do produto vetorial.

Passo 2

Pela distributividade do produto vetorial temos
(i+k) times (i-k) = itimesi ;-;itimesk ;+;ktimesi ;-;ktimesk

Passo 3

Agora usamos as regras-chave do produto vetorial entre os versores:
itimesi=0, ktimesk=0, itimesk=itimesk=;?
Mas lembramos também que ktimesi=-,itimesk. E sabemos que
itimesk=itimesk =itimesk=?
Na base usual (i,j,k) vale
itimesk=-,j, ktimesi=+j

Passo 4

Substituindo esses resultados na soma, obtemos
(i+k) times (i-k) =0 ;-;(-j) ;+;j;-;0 =j+j =2,j

Resposta

O resultado é
2,j

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