Seja A=(aij)3 times 3^prime, em que aij=(i-j)^2. Obtenha o valor de:
a) det A
b) det A^t

Passo 1

O enunciado define a matriz Ain M3(R) cujos elementos são
aij = (i - j)^2, i,j=1,2,3
e pede (a) det A e (b) det A^t. Para resolver vamos primeiro montar A, depois calcular o determinante por expansão e finalmente usar a propriedade de que o determinante é invariante por transposição.

Passo 2

Vamos escrever as entradas de A linha a linha:
Para i=1:
a11=(1-1)^2=0, a12=(1-2)^2=1, a13=(1-3)^2=4
Para i=2:
a21=(2-1)^2=1, a22=(2-2)^2=0, a23=(2-3)^2=1
Para i=3:
a31=(3-1)^2=4, a32=(3-2)^2=1, a33=(3-3)^2=0
Logo,
A = 0 & 1 & 4 1 & 0 & 1 4 & 1 & 0

Passo 3

Para calcular det A aplicamos a regra de Sarrus ou expansão de Laplace. Usando expansão pela primeira linha:
det A =0cdotdet!0&11&0 -1cdotdet!1&14&0 +4cdotdet!1&04&1
Calculando os menores:
det!1&14&0 =1cdot0 - 4cdot1 = -4, det!1&04&1 =1cdot1 - 4cdot0 = 1
Substituindo:
det A = -1cdot(-4) +4cdot1 =4+4 =8

Passo 4

Usamos a propriedade fundamental de determinantes:
det(A^t) = det(A)
Portanto não é necessário recalcular.

Resposta

a) det A = 8
b) det A^t = 8

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