Assuma que o grupo G é isomorfo ao grupo G^prime. Prove que o grupo G é abeliano se, e somente se, G^prime é abeliano.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra, mais especificamente de Teoria dos Grupos. A gente precisa mostrar que se dois grupos, $ G $ e $ G’ $, são isomorfos (ou seja, essencialmente iguais em estrutura), então $ G $ é abeliano se e somente se $ G’ $ também for abeliano. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa dois grupos serem isomorfos e o que define um grupo abeliano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo entre dois grupos. Um isomorfismo é uma função $ \phi: G \to G’ $ que é bijetora (ou seja, uma correspondência um-a-um e sobre) e que preserva a operação do grupo. Isso significa que, para todo $ a, b $ em $ G $:
phi: G to G'
Essa propriedade garante que a estrutura dos grupos é mantida pela função $ \phi $.

Passo 3

Agora, o que é um grupo abeliano? Um grupo é chamado de abeliano se a operação de grupo for comutativa, ou seja, para todo $ a, b $ em $ G $:
a, b
Então, para provar que $ G $ é abeliano se e somente se $ G’ $ é abeliano, a gente precisa mostrar duas coisas:
  1. Se $ G $ é abeliano, então $ G’ $ também é abeliano.
  2. Se $ G’ $ é abeliano, então $ G $ também é abeliano.

Passo 4

Vamos começar provando a primeira parte: se $ G $ é abeliano, então $ G’ $ também é abeliano.
Assumimos que $ G $ é abeliano, então para todo $ a, b $ em $ G $, temos $ a \cdot b = b \cdot a $.
Como $ \phi $ é um isomorfismo, para quaisquer $ x’, y’ $ em $ G’ $, existem $ x, y $ em $ G $ tais que $ \phi(x) = x’ $ e $ \phi(y) = y’ $.
Então:
G
G'
Como $ G $ é abeliano, $ x \cdot y = y \cdot x $, então:
G
Portanto, $ G’ $ é abeliano.

Passo 5

Agora, vamos provar a segunda parte: se $ G’ $ é abeliano, então $ G $ também é abeliano.
A lógica aqui é similar. Se $ G’ $ é abeliano, para todo $ x’, y’ $ em $ G’ $, temos $ x’ \cdot y’ = y’ \cdot x’ $.
Como $ \phi $ é isomorfismo, para quaisquer $ a, b $ em $ G $, temos:
G'
G
Sabendo que $ G’ $ é abeliano:
G'
Como $ \phi $ é bijetora, isso implica que:
x', y'
Portanto, $ G $ é abeliano.

Resposta

Concluímos que se $ G $ e $ G’ $ são isomorfos, então $ G $ é abeliano se e somente se $ G’ $ também for abeliano.

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