Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
é o círculo
. Calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Passo 1
Temos a curva fechada C:
e queremos calcular a integral de linha
. Isso é uma integral de linha de um campo
com
e
. Vamos usar dois métodos: (a) parametrização direta e (b) Teorema de Green.
Passo 2
No método direto, parametrizamos C por
,
, com
. Então
e
. Substituindo em
obtemos
$$\int_0^{2\pi}\Bigl((2\sin t)^3(-2\sin t)-(2\cos t)^3(2\cos t)\Bigr)dt
=\int_0{2\pi}-16\bigl(\sin4 t+\cos^4 t\bigr)dt.$$
Passo 3
Usamos as identidades
. Logo
Passo 4
Pelo Teorema de Green,
Passo 5
Aqui
e
, então o integrando é
.
Em coordenadas polares e
. Assim
Em coordenadas polares
Resposta
-24\pi