Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
C é o círculo x^2+y^2=4. Calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC y^3 d x-x^3 d y

Passo 1

Temos a curva fechada C: x^2+y^2=4 e queremos calcular a integral de linha integralC y^3,dx - x^3,dy. Isso é uma integral de linha de um campo F(x,y)=(P,Q) com P=y^3 e Q=-x^3. Vamos usar dois métodos: (a) parametrização direta e (b) Teorema de Green.

Passo 2

No método direto, parametrizamos C por x=2cos t, y=2sin t, com tin[0,2pi]. Então
dx=-2sin t,dt e dy=2cos t,dt. Substituindo em integralC y^3,dx - x^3,dy obtemos
$$\int_0^{2\pi}\Bigl((2\sin t)^3(-2\sin t)-(2\cos t)^3(2\cos t)\Bigr)dt
=\int_0{2\pi}-16\bigl(\sin4 t+\cos^4 t\bigr)dt.$$

Passo 3

Usamos as identidades integral0^2pisin^4 t,dt=integral0^2picos^4 t,dt=tfrac3pi4. Logo
integral0^2pi-16l(sin^4 t+cos^4 tr)dt=-16cdot3pi2=-24pi

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
integralC P,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA

Passo 5

Aqui partial Q/partial x=-3x^2 e partial P/partial y=3y^2, então o integrando é -3(x^2+y^2).
Em coordenadas polares (x^2+y^2=r^2, dA=r,dr,dtheta) e rin[0,2], thetain[0,2pi]. Assim
integral duplaD-3r^2,r,dr,dtheta=-3integral0^2pidthetaintegral0^2r^3dr=-3cdot2picdot2^44=-24pi, confirmando o método direto.

Resposta

-24\pi

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