Assuma que y é dada como uma função implícita de x pela equação
(y+x)(y+raizx)=x
Encontre y^prime.

Passo 1

Nesse exercício temos a equação implícita
(y + x)(y + raizx) = x
O conteúdo aqui é diferenciação implícita: vamos usar a regra do produto e a derivada de raizx para encontrar y' = tfracdydx.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, aplicamos a regra do produto no lado esquerdo:
ddxl(y + xr) cdot (y + raizx) + (y + x) cdot ddxl(y + raizxr) = ddx(x)
Aqui usamos que ddx(y) = y', ddx(x) = 1 e ddx(raizx) = tfrac12raizx.

Passo 3

Agora calculamos cada derivada:
ddx(y + x) = y' + 1,
ddx(y + raizx) = y' + 12raizx,
e no lado direito ddx(x) = 1. Substituindo na expressão anterior, temos:
(y' + 1)(y + raizx) + (y + x)l(y' + 12raizxr) = 1

Passo 4

Agora agrupamos os termos que envolvem y' num único lugar e isolamos os demais:
y'(y + raizx) + (y + raizx) + y'(y + x) + y + x2raizx = 1
Juntando os termos de y':
y'l[(y + raizx) + (y + x)r] + (y + raizx) + y + x2raizx = 1
Note que
(y + raizx) + (y + x) = 2y + x + raizx

Passo 5

Finalmente, isolamos y':
y'(2y + x + raizx) = 1 - (y + raizx) - y + x2raizx,
portanto
y' = 1 - (y + raizx) - tfracy + x2raizx2y + x + raizx
Essa é a expressão desejada para y'.

Resposta

y' = 1 - (y + raizx) - tfracy + x2raizx2y + x + raizx

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