Determine as retas normais ao gráfico da função y=x-1x+1 que são paralelas a reta 2 x+y=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as retas normais ao gráfico da função y=x-1x+1 que sejam paralelas à reta 2x+y=1. Vamos usar derivadas para achar o coeficiente angular da tangente e, a partir dele, o coeficiente angular da normal.

Passo 2

Primeiro identificamos o coeficiente angular da reta dada. Da equação 2x+y=1 temos
y=-2x+1
portanto o coeficiente angular é mreta=-2. Como a normal à curva deve ser paralela a essa reta, o coeficiente angular da normal também deve ser -2. Mas o coeficiente angular da normal é mn=-1/mt, onde mt é o coeficiente angular da tangente (ou seja, y'). Assim

Passo 3

Segundo passo: usar a regra do quociente para calcular a derivada da função. Como y=x-1x+1, temos
y' = (1)(x+1)-(x-1)(1)(x+1)^2 = x+1-x+1(x+1)^2 = 2(x+1)^2
Agora igualamos y' ao valor que garante a normal paralela:
2(x+1)^2 = 12
Resolvendo, (x+1)^2 = 4 e portanto x+1=pm2, dando as abscissas x=1 e x=-3.

Passo 4

Em seguida, encontramos as ordenadas correspondentes substituindo na função original:
  • Para x=1: y=1-11+1=0.
  • Para x=-3: y=-3-1-3+1=-4-2=2.
    Então os pontos de normal são (1,0) e (-3,2).

Passo 5

Por fim, escrevemos as equações das retas normais com coeficiente angular -2 que passam por esses pontos:
  • Em (1,0):
y-0 = -2(x-1) implies y = -2x+2
  • Em (-3,2):
y-2 = -2(x+3) implies y = -2x-4

Resposta

As retas normais procuradas são
y = -2x + 2 e y = -2x - 4.

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