Determine as retas normais ao gráfico da função
que são paralelas a reta
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as retas normais ao gráfico da função
que sejam paralelas à reta
. Vamos usar derivadas para achar o coeficiente angular da tangente e, a partir dele, o coeficiente angular da normal.
Passo 2
Primeiro identificamos o coeficiente angular da reta dada. Da equação
temos
portanto o coeficiente angular é
. Como a normal à curva deve ser paralela a essa reta, o coeficiente angular da normal também deve ser
. Mas o coeficiente angular da normal é
, onde
é o coeficiente angular da tangente (ou seja,
). Assim
Passo 3
Segundo passo: usar a regra do quociente para calcular a derivada da função. Como
, temos
Agora igualamos
ao valor que garante a normal paralela:
Resolvendo,
e portanto
, dando as abscissas
e
.
Passo 4
Em seguida, encontramos as ordenadas correspondentes substituindo na função original:
- Para
: . - Para
: .
Então os pontos de normal sãoe .
Passo 5
Por fim, escrevemos as equações das retas normais com coeficiente angular
que passam por esses pontos:
- Em
:
- Em
:
Resposta
As retas normais procuradas são