Seja f: R R uma função tal que
|f(x)-f(1)| <=(x-1)^2, para todo x in R
A função f(x) é contínua em a=1?

Passo 1

Temos uma função f: ℝ→ℝ tal que |f(x)-f(1)| <= (x-1)^2 para todo x em ℝ. O conteúdo aqui é continuidade em a=1, ou seja, precisamos mostrar que limxto1f(x)=f(1).

Passo 2

Para provar continuidade em x=1, usamos a definição ε–δ: para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se |x-1|<δ, então |f(x)-f(1)|<ε.

Passo 3

Dada a desigualdade |f(x)-f(1)| <= (x-1)^2, basta controlar (x-1)^2. Escolhemos δ de modo que (x-1)^2<ε. Por exemplo,
δ = raizε
Assim, se |x-1|<δ então (x-1)^2<δ^2=ε e portanto |f(x)-f(1)|<=(x-1)^2<ε.

Passo 4

Isso mostra que para todo ε>0 existe δ>0 satisfazendo a definição de continuidade em x=1, logo limxto1f(x)=f(1).

Resposta

Sim. A função f é contínua em a=1.

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