O retrospecto mostra que um jogador de basquete tem uma probabilidade de 0,75 de acertar um lance livre. Se este jogador vai arremessar 5 lances livres, qual a probabilidade de acertar:
pelo menos 3 .
pelo menos 3 .
Passo 1
O enunciado dá que a probabilidade de o jogador acertar um lance livre é
. Ele vai arremessar 5 lances livres. A pergunta é: qual a probabilidade de ele acertar pelo menos 3 lances livres entre os 5?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Probabilidade de sucesso em cada lance:
. - Número de tentativas independentes:
. - Evento pedido: “pelo menos 3”, ou seja
onde = número de acertos em 5 lances.
Passo 2
Modelagem: quando temos um número fixo de tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso em cada uma, usamos a distribuição binomial. Vou explicar isso com calma.
A variável aleatória
que conta o número de acertos em
tentativas segue a distribuição binomial com parâmetros
e
. A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos é:
Aqui:
-
é o número total de tentativas ( no nosso caso). -
é o número de sucessos que contamos. -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( aqui). -
é o número de maneiras de escolher quais tentativas foram os sucessos; numericamente .
Explicando de forma concreta: para cada padrão de acertos/erros com exatamente
acertos a probabilidade é
, e existem
padrões diferentes; por isso multiplicamos.
Passo 3
Interpretando “pelo menos 3”: isso significa somar as probabilidades de
:
Uma forma prática (menos contas) é usar o complemento:
Vou usar o complemento porque precisamos calcular somente três termos (
) em vez de calcular três termos diferentes (
) — a conta fica mais simples.
Passo 4
Defino a probabilidade de fracasso por tentativa:
. Como
, temos
. É prático usar frações:
e
. Note que
será útil ao calcular potências de quarto.
Vou calcular
,
e
usando a fórmula binomial.
Cálculo de
:
Aqui
. Logo
Cálculo de
:
Temos
. Então
Cálculo de
:
Aqui
. Além disso
e
. Multiplicando:
Passo 5
Somando os três termos (todos com denominador
):
Podemos simplificar
dividindo numerador e denominador por
:
Agora uso o complemento:
Se quiser a forma decimal (útil para interpretar o resultado), fazemos a divisão:
Interpretação final rápida: isso significa cerca de
de chance de acertar pelo menos 3 dos 5 lances — faz sentido, já que o jogador acerta em média
lances, então “pelo menos 3” é um evento bem provável.