O retrospecto mostra que um jogador de basquete tem uma probabilidade de 0,75 de acertar um lance livre. Se este jogador vai arremessar 5 lances livres, qual a probabilidade de acertar:
pelo menos 3 .

Passo 1

O enunciado dá que a probabilidade de o jogador acertar um lance livre é \,0{,}75. Ele vai arremessar 5 lances livres. A pergunta é: qual a probabilidade de ele acertar pelo menos 3 lances livres entre os 5?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Probabilidade de sucesso em cada lance: \,p=0{,}75.
  • Número de tentativas independentes: \,n=5.
  • Evento pedido: “pelo menos 3”, ou seja \,X\ge 3 onde \,X = número de acertos em 5 lances.

Passo 2

Modelagem: quando temos um número fixo de tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso em cada uma, usamos a distribuição binomial. Vou explicar isso com calma.
A variável aleatória \,X que conta o número de acertos em \,n tentativas segue a distribuição binomial com parâmetros \,n e \,p. A fórmula para a probabilidade de exatamente \,k sucessos é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui:
  • \,n é o número total de tentativas ( =5 no nosso caso).
  • \,k é o número de sucessos que contamos.
  • \,p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( =0{,}75 aqui).
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais \,k tentativas foram os sucessos; numericamente \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicando de forma concreta: para cada padrão de acertos/erros com exatamente \,k acertos a probabilidade é p^k(1-p)^{n-k}, e existem \binom{n}{k} padrões diferentes; por isso multiplicamos.

Passo 3

Interpretando “pelo menos 3”: isso significa somar as probabilidades de \,k=3,4,5:
P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5).
Uma forma prática (menos contas) é usar o complemento:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).
Vou usar o complemento porque precisamos calcular somente três termos ( k=0,1,2) em vez de calcular três termos diferentes ( k=3,4,5) — a conta fica mais simples.

Passo 4

Defino a probabilidade de fracasso por tentativa: \,q=1-p. Como \,p=0{,}75, temos \,q=0{,}25. É prático usar frações: \,p=\dfrac{3}{4} e \,q=\dfrac{1}{4}. Note que 4^5=1024 será útil ao calcular potências de quarto.
Vou calcular \,P(X=0), \,P(X=1) e \,P(X=2) usando a fórmula binomial.
Cálculo de \,P(X=0):
P(X=0)=\binom{5}{0}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{0}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{5}.
Aqui \binom{5}{0}=1. Logo
P(X=0)=1\cdot 1\cdot \dfrac{1}{4^{5}}=\dfrac{1}{1024}.
Cálculo de \,P(X=1):
P(X=1)=\binom{5}{1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{4}.
Temos \binom{5}{1}=5. Então
P(X=1)=5\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{4^{4}}=5\cdot \dfrac{3}{4^{5}}=\dfrac{15}{1024}.
Cálculo de \,P(X=2):
P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3}.
Aqui \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!3!}=10. Além disso \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16} e \left(\dfrac{1}{4}\right)^{3}=\dfrac{1}{64}. Multiplicando:
P(X=2)=10\cdot \dfrac{9}{16}\cdot \dfrac{1}{64}=10\cdot \dfrac{9}{1024}=\dfrac{90}{1024}.

Passo 5

Somando os três termos (todos com denominador 1024):
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\dfrac{1}{1024}+\dfrac{15}{1024}+\dfrac{90}{1024}=\dfrac{106}{1024}.
Podemos simplificar \dfrac{106}{1024} dividindo numerador e denominador por 2:
P(X\le 2)=\dfrac{53}{512}.
Agora uso o complemento:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\dfrac{53}{512}=\dfrac{512-53}{512}=\dfrac{459}{512}.
Se quiser a forma decimal (útil para interpretar o resultado), fazemos a divisão:
\dfrac{459}{512}\approx 0{,}896484375.
Interpretação final rápida: isso significa cerca de 89{,}65\% de chance de acertar pelo menos 3 dos 5 lances — faz sentido, já que o jogador acerta em média \,5\cdot 0{,}75=3{,}75 lances, então “pelo menos 3” é um evento bem provável.

Resposta

\dfrac{459}{512}\approx 0{,}896484375

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