O retrospecto mostra que um jogador de basquete tem uma probabilidade de 0,75 de acertar um lance livre. Se este jogador vai arremessar 5 lances livres, qual a probabilidade de acertar:
todos;

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de o jogador acertar um lance livre é \(0,75) e que ele irá arremessar 5 lances livres. A pergunta é: qual a probabilidade de ele acertar todos os 5 arremessos?
Informações relevantes: probabilidade de sucesso em cada arremesso p=\(0,75), número de arremessos n=\(5). Não há outras condições indicadas.

Passo 2

Vamos modelar cada arremesso como um experimento que tem só duas possibilidades: acerto (sucesso) ou erro (falha). Quando temos vários desses experimentos independentes, com a mesma probabilidade de sucesso p, a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas é dada pela fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando a fórmula: X é a variável aleatória que conta quantos acertos ocorreram em n tentativas; \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras podemos escolher quais k tentativas foram acertos; p^{k} é a probabilidade de ocorrerem esses k acertos; (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade das n-k falhas restantes. Cada símbolo: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}, p é a probabilidade de acerto em uma tentativa, e n o número total de tentativas.

Passo 3

Para a pergunta “acertar todos”, queremos exatamente k=n=5 sucessos. Substituindo na fórmula:
P(X=5)=\binom{5}{5}\,p^{5}\,(1-p)^{0}.
Aqui \binom{5}{5}=1 e (1-p)^{0}=1. Portanto a expressão simplifica para
P(X=5)=p^{5}.

Passo 4

Substituímos p=\(0,75). É conveniente também ver 0,75 como fração \frac{3}{4}, assim fica exato:
P(X=5)=\left(\frac{3}{4}\right)^{5}.
Calculando as potências: 3^{5}=243 e 4^{5}=1024, logo
P(X=5)=\frac{243}{1024}.

Passo 5

Se preferir o valor decimal, vamos calcular passo a passo usando 0,75:
0,75^{2}=0,5625,
0,75^{3}=0,5625\times0,75=0,421875,
0,75^{4}=0,421875\times0,75=0,31640625,
0,75^{5}=0,31640625\times0,75=0,2373046875.
Portanto, em forma decimal a probabilidade é 0,2373046875, ou seja cerca de 23,73\%. Força aí — é menos de um em quatro, então não é tão óbvio quanto parece!

Resposta

\displaystyle \frac{243}{1024}\approx0,2373046875

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