Assumindo um amortecimento desprezível ( gamma=0 ), calcule a velocidade de grupo das ondas descritas pelas equações
tildeE(z, t)=tildeE0 e^-alpha z e^i(k z-omega t)
e
tildek=omegac raiz1+N q^2m epsilon0 sumk fkomegak^2-omega^2-i gamma omega
Mostre que vg<c mesmo quando v>c. Assuma que o segundo termo do radicando da equação acima é muito menor do que 1.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de grupo
vg=domegadk
para as ondas em meio dispersivo sem amortecimento ( gamma=0), cuja constante de propagação é
tilde k(omega) =omegac,raiz,1+chi(omega),
com
chi(omega) =Nq^2mepsilon0 sumkfkomegak^2-omega^2
Assume-se l|chi(omega)r|ll1. Vamos usar a definição de velocidade de grupo, a regra da cadeia e expansão para pequeno chi.

Passo 2

Escrevemos
k(omega)=omegac,n(omega), n(omega)=raiz1+chi(omega)
Então
dkdomega =ddomegal(omegacnr) =1c,n(omega) +omegac,dndomega
Por definição
vg =domegadk =1,dk/domega, =c,n(omega)+omega,dn/domega,

Passo 3

Para l|chir|ll1 usamos
n(omega)=raiz1+chiapprox1+chi2, dndomegaapprox12,dchidomega
Logo o denominador em vg fica
n+omega,dndomega approx 1+chi2 +omega2,dchidomega

Passo 4

Calculamos dchi/domega. Como
chi=Nq^2mepsilon0sumkfkomegak^2-omega^2,
temos
dchidomega =Nq^2mepsilon0 sumk fk, ddomega l(omegak^2-omega^2r)^-1 =Nq^2mepsilon0 sumk fk,2omega(omegak^2-omega^2)^2
Substituindo em n+omega,dn/domega e lembrando que chill1, o termo dominante extra é positivo.

Passo 5

Assim a velocidade de grupo aproximada é
vg approx c ,1+chi2+omega2dchidomega, < c,
pois chi2+omega2dchidomega>0 sempre que gamma=0. Mesmo que o índice n<1 (logo v=omega/k>c), o termo omega,dchi/domega garante que o denominador exceda 1, impondo
vg<c

Resposta

vg =domegadk =c,n(omega)+omega,dndomega, approx c 1+tfracchi2+tfracomega2tfracdchidomega <c

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