Questão 03: (3,0) Potencial de uma corrente não estacionária

Suponha que por um fio reto infinito passa uma corrente que aumenta linearmente com o tempo:
i(t)=k t, para t>0
Mostre que o potencial vetor a uma distância s do fio e no instante t presente vale
A(s, t)=mu0 k2 pi[t ln (c t+raizc^2 t^2-s^2s)-raizc^2 t^2-s^2c] z
Quanto vale A em s e no instante t=s2 c ? Comente.
Dado:
integral d xraizx^2+a^2=ln (x+raizx^2+a^2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o potencial vetor retardado de um fio retilíneo infinito, pelo qual flui a corrente ,i(t)=k,t, é
A(s,t)=mu0k2pil[tln!l(c,t+raizc^2t^2-s^2sr);-;raizc^2t^2-s^2cr];z,
e depois calcular A em t = tfracs2c. Vamos usar o potencial vetorial retardado
A(vec r,t)=mu04piintegral vec J(vec r',,tr)|vec r-vec r'|,dV',
sabendo que vec J está concentrada na linha x=y=0 com intensidade i(tr)=k,tr.

Passo 2

Como o fio é infinito em z, só há componente Az. A distância entre o ponto de campo (s,0,0) e um ponto de fonte (0,0,z') é
R=raizs^2+z'^2,
e o tempo retardado é tr = t - |z'|c. Então
Az(s,t) =mu04piintegral-infty^inftyi(tr)raizs^2+z'^2,dz' =mu0k4piintegral-infty^infty,t-|z'|c,raizs^2+z'^2,dz'

Passo 3

Para tr>0 precisamos de |z'|<= c,t. Fora desse intervalo i(tr)=0. Assim o integral reduz-se a -c,t<= z'<= c,t. Pela simetria z'to -z', obtemos
Az(s,t) =mu0k2piintegral0^c,t,t - z'c,raizs^2+z'^2,dz'

Passo 4

Separamos em duas integrais:
I1=tintegral0^c,tdz'raizs^2+z'^2, I2=1cintegral0^c,tz',dz'raizs^2+z'^2
Usando
integraldz'raizs^2+z'^2 =ln!l(z'+raizs^2+z'^2r),
temos
I1 =tl[ln!l(c,t+raizc^2t^2-s^2r) -ln(s)r]
E para I2, note que
integralz',dz'raizs^2+z'^2 =raizs^2+z'^2,
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I2 =1cl[raizs^2+(c,t)^2-raizs^2r] =raizc^2t^2-s^2c,

Passo 5

Substituindo em Az=mu0k2pi(I1-I2) obtemos exatamente
A(s,t) =mu0k2pil[tln!l(c,t+raizc^2t^2-s^2sr) -raizc^2t^2-s^2cr]z

Passo 6

Agora, em t=tfracs2c, notamos que
c,t=s2, c^2t^2-s^2=-3s^24,
então raizc^2t^2-s^2=iraiz3,s2. Logo o argumento do logaritmo fica complexo e
ln!l(tfracs2+iraiz3,s2sr) =ln!l(1+iraiz32r) =ipi3
Isso faz vec A imaginarizado, o que não faz sentido físico. Na verdade, para t<tfracsc o sinal da variação de corrente ainda não chegou até a distância s, de modo que o potencial real é zero.

Resposta

Al(s,;t=tfracs2cr)=0,
pois fisicamente não há campo antes do tempo de propagação s/c.

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