Questão 01

Mostre que as equações diferenciais para V e A
nabla^2 V+partialpartial t(nabla cdot A)=-rhoepsilon0 (nabla^2 A-mu0 epsilon0 partial^2 Apartial t^2)-nabla(nabla cdot A+mu0 epsilon0 partial Vpartial t)=-mu0 J
podem ser escritas de forma mais simétrica como
square^2 V+partial Lpartial t=-rhoepsilon0 square^2 A-nabla L=-mu0 J,
onde
square^2 & equiv nabla^2-mu0 epsilon0 partial^2partial t^2 L & equiv nabla cdot A+mu0 epsilon0 partial Vpartial t

Passo 1

O enunciado nos dá as equações diferenciais para o potencial escalar V e o potencial vetor A:
nabla^2 V + partialpartial t(nabla cdot A) ;=; -rhoepsilon0
l(nabla^2 A - mu0,epsilon0,partial^2Apartial t^2r);-;nabla!l(nablacdotA + mu0,epsilon0,partial Vpartial tr);=;-,mu0,J
Queremos mostrar que, definindo
square^2;equiv;nabla^2;-;mu0,epsilon0,partial^2partial t^2, L;equiv;nablacdotA ;+;mu0,epsilon0,partial Vpartial t,
essas duas equações se tornam
square^2V + partial Lpartial t ;=;-,rhoepsilon0, square^2A ;-;nabla L ;=;-,mu0,J

Passo 2

Calculemos partial L/partial t. Partindo da definição
L = nablacdotA ;+;mu0,epsilon0,partial Vpartial t,
temos
partial Lpartial t = partialpartial t(nablacdotA) ;+;mu0,epsilon0,partial^2Vpartial t^2

Passo 3

Reescrevendo a primeira equação original,
nabla^2V + partialpartial t(nablacdotA) = -rhoepsilon0,
adicione e subtraia mu0,epsilon0,partial^2V/partial t^2 do lado esquerdo:
l(nabla^2V - mu0,epsilon0,partial^2Vpartial t^2r) ;+; partialpartial t(nablacdotA) ;+; mu0,epsilon0,partial^2Vpartial t^2 = -rhoepsilon0
Reconhecendo square^2V = nabla^2V - mu0,epsilon0,partial^2V/partial t^2 e usando o resultado do Passo 2, obtemos
square^2V + partial Lpartial t = -rhoepsilon0

Passo 4

Na segunda equação original, o termo entre parênteses já é
nabla^2A - mu0,epsilon0,partial^2Apartial t^2 = square^2A,
e o segundo termo é
nabla!l(nablacdotA + mu0,epsilon0,partial Vpartial tr) = nabla L
Logo a equação
l(nabla^2A - mu0,epsilon0,partial^2Apartial t^2r) ;-;nabla!(dots) = -mu0,J
torna-se
square^2A ;-;nabla L = -mu0,J

Resposta

square^2V + partial Lpartial t = -rhoepsilon0, square^2A - nabla L = -mu0,J,
com
square^2=nabla^2-mu0epsilon0,partial^2partial t^2
e
L=nablacdotA+mu0epsilon0,partial Vpartial t

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