1. Assumindo que a estatura de alunos com idades entre 15 a 18 anos de certa escola, tenha uma distribuição normal de media 165 e desvio padrão 5 cm , (a) Qual é o intervalo centralizado na media de X , o qual inclua uma estatura de algum aluno desta escola na faixa em questão com um 95 \% de poussibilidade?
    (b) Para o time de vôlei são considerados alunos acima de 173,2 \mathrm{~cm}. De um total de 10 alunos, qual é a probabilidade de no máximo 3 poussam entrar no time?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • A estatura X dos alunos entre 15 e 18 anos tem distribuição normal com média \mu=165 e desvio padrão \sigma=5 cm.
  • Para o time de vôlei, são considerados alunos com estatura acima de 173,2 cm.
  • Há um total de 10 alunos (para a parte b).
Perguntas:
(a) Qual é o intervalo centrado na média de X que contém a estatura de um aluno dessa faixa com 95\% de probabilidade?
(b) De um total de 10 alunos, qual é a probabilidade de no máximo 3 poderem entrar no time (isto é, terem estatura >173,2 cm)?

Passo 2

Entendendo a parte (a): o que significa “intervalo centralizado na média que inclua com 95\% de possibilidade”?
  • Queremos um intervalo simétrico em torno da média \mu tal que a probabilidade de X cair dentro dele seja 0,95.
  • Para variáveis normais simétricas, esse intervalo tem a forma \mu \pm k, onde k>0 é escolhido de modo que \Pr(\mu-k \le X \le \mu+k)=0,95.
Explicação das ferramentas necessárias (pouco a pouco):
  • Normal padrão: se X\sim N(\mu,\sigma), definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição normal padrão Z\sim N(0,1). A padronização transforma qualquer normal em uma normal com média 0 e desvio 1.
  • Para um intervalo central de probabilidade 1-\alpha (aqui 0,95, então \alpha=0,05), as caudas totalizam \alpha, cada cauda tem \alpha/2. Assim procuramos o valor crítico z_{1-\alpha/2} tal que
\Pr(-z_{1-\alpha/2}\le Z\le z_{1-\alpha/2})=1-\alpha.
  • No caso 1-\alpha=0,95, temos z_{0,975}. Pela tabela da normal padrão (ou por calculadora), z_{0,975}\approx 1,96. Isso significa que \Pr(|Z|\le 1,96)=0,95.

Passo 3

Cálculo do intervalo para (a):
  • Sabendo que k = z_{0,975}\sigma, temos
k = 1,96\cdot\sigma = 1,96\cdot 5.
  • Calcule 1,96\cdot 5:
1,96\cdot 5 = 9,8.
  • Portanto o intervalo centrado na média é
\mu \pm k = 165 \pm 9,8.
  • Escrevendo em extremos:
\text{limite inferior} = 165-9,8 = 155,2,
\text{limite superior} = 165+9,8 = 174,8.
  • Concluímos que o intervalo simétrico em torno da média que contém uma estatura com 95\% de probabilidade é [155,2\\ \mathrm{cm},\;174,8\\ \mathrm{cm}].

Passo 4

Entendendo a parte (b): transformar o problema contínuo em um problema discreto de contagem.
  • Primeiro encontramos a probabilidade p de um aluno qualquer (na população descrita) ter estatura maior que 173,2 cm:
p=\Pr(X>173,2).
  • Depois, se pegamos 10 alunos independentes (presumidamente independentes e com a mesma distribuição), o número Y de alunos com estatura >173,2 segue uma distribuição binomial
Y\sim \mathrm{Bin}(n=10,p).
  • A probabilidade pedida “no máximo 3” é \Pr(Y\le 3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}p^{k}(1-p)^{10-k}.

Passo 5

Cálculo de p=\Pr(X>173,2) usando padronização:
  • Padronizando:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-165}{5}.
  • Para x=173,2:
z=\frac{173,2-165}{5}=\frac{8,2}{5}=1,64.
  • Então
p=\Pr(X>173,2)=\Pr\!\big(Z>1,64\big)=1-\Phi(1,64),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão. Pela tabela da normal padrão,
\Phi(1,64)\approx 0,9495.
  • Logo
p \approx 1-0,9495=0,0505.
Explicação curta: isso significa que aproximadamente 5,05\% dos alunos dessa faixa são mais altos que 173,2 cm.

Passo 6

Definindo a distribuição discreta e a fórmula da binomial:
  • Temos Y\sim \mathrm{Bin}(10,0,0505).
  • A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos é
\Pr(Y=k)=\binom{10}{k}p^{k}(1-p)^{10-k},
onde \binom{10}{k}=\dfrac{10!}{k!(10-k)!} é o número de maneiras de escolher k alunos entre 10.

Passo 7

Cálculo numérico de \Pr(Y\le 3) somando os termos k=0,1,2,3. Vou calcular cada termo e explicar:
Primeiro defina p\approx 0,0505 e q=1-p\approx 0,9495.
  • Para k=0:
\Pr(Y=0)=\binom{10}{0}p^{0}q^{10}=q^{10}\approx 0,9495^{10}\approx 0,5960.
(Expliquei: q^{10} é a chance de nenhum dos 10 ser mais alto que 173,2.)
  • Para k=1:
\Pr(Y=1)=\binom{10}{1}p^{1}q^{9}=10\cdot p\cdot q^{9}\approx 10\cdot 0,0505\cdot 0,6279\approx 0,3174.
(Usei q^{9}=q^{10}/q.)
  • Para k=2:
\Pr(Y=2)=\binom{10}{2}p^{2}q^{8}=45\cdot p^{2}\cdot q^{8}.
Calcule p^{2}\approx 0,0505^{2}=0,00255025 e q^{8}\approx 0,6614 (obtido de q^{10}/q^{2}). Então
\Pr(Y=2)\approx 45\cdot 0,00255025\cdot 0,6614\approx 0,0759.
  • Para k=3:
\Pr(Y=3)=\binom{10}{3}p^{3}q^{7}=120\cdot p^{3}\cdot q^{7}.
Calcule p^{3}\approx 0,0001288 e q^{7}\approx 0,6966. Então
\Pr(Y=3)\approx 120\cdot 0,0001288\cdot 0,6966\approx 0,0108.

Passo 8

Somando os termos para obter \Pr(Y\le 3):
\Pr(Y\le 3)\approx 0,5960+0,3174+0,0759+0,0108\approx 0,9997.
Interpretação: como p é pequeno ( \approx 0,0505) e n também não é grande, é muito provável que tenhamos pouquíssimos (0, 1, 2 ou 3) alunos acima de 173,2 cm; portanto a probabilidade de no máximo 3 é muito próxima de 1.

Resposta

(a) [155,2\\ \mathrm{cm},\;174,8\\ \mathrm{cm}]
(b) \approx 0,9997

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