- Assumindo que a estatura de alunos com idades entre 15 a 18 anos de certa escola, tenha uma distribuição normal de media 165 e desvio padrão 5 cm , (a) Qual é o intervalo centralizado na media de X , o qual inclua uma estatura de algum aluno desta escola na faixa em questão com um
de poussibilidade?
(b) Para o time de vôlei são considerados alunos acima de
. De um total de 10 alunos, qual é a probabilidade de no máximo 3 poussam entrar no time?
(b) Para o time de vôlei são considerados alunos acima de
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
- A estatura
dos alunos entre 15 e 18 anos tem distribuição normal com média e desvio padrão cm. - Para o time de vôlei, são considerados alunos com estatura acima de
cm. - Há um total de
alunos (para a parte b).
Perguntas:
(a) Qual é o intervalo centrado na média de que contém a estatura de um aluno dessa faixa com
de probabilidade?
(b) De um total de alunos, qual é a probabilidade de no máximo
poderem entrar no time (isto é, terem estatura
cm)?
(a) Qual é o intervalo centrado na média de
(b) De um total de
Passo 2
Entendendo a parte (a): o que significa “intervalo centralizado na média que inclua com
de possibilidade”?
- Queremos um intervalo simétrico em torno da média
tal que a probabilidade de cair dentro dele seja . - Para variáveis normais simétricas, esse intervalo tem a forma
, onde é escolhido de modo que .
Explicação das ferramentas necessárias (pouco a pouco):
- Normal padrão: se
, definimos a variável padronizada
que tem distribuição normal padrão
. A padronização transforma qualquer normal em uma normal com média
e desvio
.
- Para um intervalo central de probabilidade
(aqui , então ), as caudas totalizam , cada cauda tem . Assim procuramos o valor crítico tal que
- No caso
, temos . Pela tabela da normal padrão (ou por calculadora), . Isso significa que .
Passo 3
Cálculo do intervalo para (a):
- Sabendo que
, temos
- Calcule
:
- Portanto o intervalo centrado na média é
- Escrevendo em extremos:
- Concluímos que o intervalo simétrico em torno da média que contém uma estatura com
de probabilidade é .
Passo 4
Entendendo a parte (b): transformar o problema contínuo em um problema discreto de contagem.
- Primeiro encontramos a probabilidade
de um aluno qualquer (na população descrita) ter estatura maior que cm:
- Depois, se pegamos
alunos independentes (presumidamente independentes e com a mesma distribuição), o número de alunos com estatura segue uma distribuição binomial
- A probabilidade pedida “no máximo 3” é
.
Passo 5
Cálculo de
usando padronização:
- Padronizando:
- Para
:
- Então
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão. Pela tabela da normal padrão,
- Logo
Explicação curta: isso significa que aproximadamente
dos alunos dessa faixa são mais altos que
cm.
Passo 6
Definindo a distribuição discreta e a fórmula da binomial:
- Temos
. - A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos é
onde
é o número de maneiras de escolher
alunos entre
.
Passo 7
Cálculo numérico de
somando os termos
. Vou calcular cada termo e explicar:
Primeiro defina
e
.
- Para
:
(Expliquei:
é a chance de nenhum dos 10 ser mais alto que
.)
- Para
:
(Usei
.)
- Para
:
Calcule
e
(obtido de
). Então
- Para
:
Calcule
e
. Então
Passo 8
Somando os termos para obter
:
Interpretação: como
é pequeno (
) e
também não é grande, é muito provável que tenhamos pouquíssimos (0, 1, 2 ou 3) alunos acima de
cm; portanto a probabilidade de no máximo
é muito próxima de
.
Resposta
(a)
(b)
(b)