Se
é uma função de densidade, qual é o valor de k ,
,
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor de
sabendo que
é uma função de densidade e que
Informações dadas:
e a condição que define função de densidade: a função deve ser não negativa (quase em toda parte) e integrar para
sobre toda a reta (aqui, sobre
).
Passo 2
Relembrando a definição de função densidade (vou explicar devagar como se estivéssemos juntos estudando): uma função
é densidade de probabilidade se duas coisas valem:
No nosso caso, como
só é dada em
, a condição (ii) vira
porque fora de
assumimos
. Então precisamos usar essa integral para determinar
(ou ver se é possível).
Passo 3
Vamos montar a integral de normalização e calcular passo a passo:
Como
é constante em relação a
, posso tirá‑lo fora da integral:
Agora calculamos
. Uma primitiva (antiderivada) de
é
, porque derivando
obtemos
. Portanto, avaliando de
a
:
Passo 4
Voltando à integral com o
:
Mas a condição de densidade exige que essa integral seja
. Aqui obtemos que, para qualquer valor de
, a integral é
, nunca
. Logo não existe valor de
que satisfaça a condição de normalização.
Passo 5
Além disso, vamos checar a condição de não negatividade só para completar a ideia: a função
muda de sinal em
. Assim, para
temos
e para
temos
. Multiplicar por qualquer
mantém sinais opostos em subintervalos, então
não seria não negativa em todo o intervalo; o único
que tornaria
não negativa seria
, mas aí
e a integral é
, não
. Então tanto pela integral quanto pela não negatividade concluímos ser impossível obter uma densidade.
Resposta
Não existe valor de
que torne
uma função densidade.