Se \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma função de densidade, qual é o valor de k ,
f(x)=k(2 x-1), \quad 0<x<1,

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de k sabendo que \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma função de densidade e que
f(x)=k(2x-1),\qquad 0<x<1.
Informações dadas:
\text{(a)}\; f(x)=k(2x-1)\quad\text{para }0<x<1,
\text{(b)}\; f(x)=0\quad\text{fora de }(0,1)\\ \text{(pressuposto usual quando só dá o intervalo)},óá
e a condição que define função de densidade: a função deve ser não negativa (quase em toda parte) e integrar para 1 sobre toda a reta (aqui, sobre (0,1)).

Passo 2

Relembrando a definição de função densidade (vou explicar devagar como se estivéssemos juntos estudando): uma função f é densidade de probabilidade se duas coisas valem:
\text{(i)}\quad f(x)\ge 0\quad\text{para quase todo }x,
\text{(ii)}\quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
No nosso caso, como f só é dada em (0,1), a condição (ii) vira
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 1,
porque fora de (0,1) assumimos f(x)=0. Então precisamos usar essa integral para determinar k (ou ver se é possível).

Passo 3

Vamos montar a integral de normalização e calcular passo a passo:
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} k(2x-1)\,dx.
Como k é constante em relação a x, posso tirá‑lo fora da integral:
\int_{0}^{1} k(2x-1)\,dx = k\int_{0}^{1} (2x-1)\,dx.
Agora calculamos \int (2x-1)\,dx. Uma primitiva (antiderivada) de 2x-1 é x^{2}-x, porque derivando x^{2}-x obtemos 2x-1. Portanto, avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (2x-1)\,dx = \bigl[x^{2}-x\bigr]_{0}^{1} = (1^{2}-1)-(0^{2}-0) = (1-1)-0 = 0.

Passo 4

Voltando à integral com o k:
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = k\cdot 0 = 0.
Mas a condição de densidade exige que essa integral seja 1. Aqui obtemos que, para qualquer valor de k, a integral é 0, nunca 1. Logo não existe valor de k que satisfaça a condição de normalização.

Passo 5

Além disso, vamos checar a condição de não negatividade só para completar a ideia: a função 2x-1 muda de sinal em x=\tfrac{1}{2}. Assim, para 0<x<\tfrac{1}{2} temos 2x-1<0 e para \tfrac{1}{2}<x<1 temos 2x-1>0. Multiplicar por qualquer k\neq 0 mantém sinais opostos em subintervalos, então f não seria não negativa em todo o intervalo; o único k que tornaria f não negativa seria k=0, mas aí f\equiv 0 e a integral é 0, não 1. Então tanto pela integral quanto pela não negatividade concluímos ser impossível obter uma densidade.

Resposta

Não existe valor de k que torne f uma função densidade.

Exercícios relacionados