Defina com suas palavras:
Variável aleatória.

Passo 1

O que o enunciado pede: definir com minhas palavras o que é uma variável aleatória.
Informações que já temos do enunciado: apenas o pedido de definição; não há dados numéricos ou figura.

Passo 2

Explicação intuitiva e direta: uma variável aleatória é uma maneira de transformar resultados incertos (os resultados de um experimento aleatório) em números. Pense assim: quando eu jogo uma moeda, o resultado “cara” ou “coroa” é um resultado do experimento; a variável aleatória pega cada resultado e diz “vou associar o número 1 se sair cara e 0 se sair coroa”. Isso nos permite trabalhar com probabilidades usando números, somar, medir média, variância etc.

Passo 3

Definição formal (em linguagem simples): uma variável aleatória é uma função que associa a cada possível resultado de um experimento aleatório um número real. Em símbolos, escrevemos isso como \;X:\Omega\to\mathbb{R}\;. Agora explicando cada pedaço:
  • \Omega é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento (chamado espaço amostral).
  • X é a variável aleatória: para cada \omega\in\Omega (cada resultado), X(\omega) é um número real.
  • \mathbb{R} significa que os valores que X assume são números reais.
    O ponto importante: o valor específico de X depende do resultado aleatório que acontecerá — por isso é “aleatória”.

Passo 4

Tipos principais e como aparecem nos problemas:
  • Variável aleatória discreta: assume um conjunto finito ou contável de valores (por ex., 0,1,2,\dots). Exemplo: número de caras em duas moedas. Para essas usamos a função massa de probabilidade (pmf) \;p_X(x)=P(X=x)\;, que satisfaz \;p_X(x)\ge0\; e \;\sum_x p_X(x)=1\;.
  • Variável aleatória contínua: assume valores em um intervalo (ou vários) de \mathbb{R}. Nesse caso não faz sentido falar em P(X=x) como número positivo; usamos densidade \;f_X(x)\; tal que a probabilidade em um intervalo é dada por integração. A função distribuição acumulada (CDF) vale \;F_X(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt\;.
    Explicando por que: em discreto somamos probabilidades de valores; em contínuo calculamos áreas sob a curva f_X.

Passo 5

Funções importantes associadas a uma variável aleatória e o significado delas:
  • Função massa (discreta): \;p_X(x)=P(X=x)\;. Dá probabilidade exata de cada valor.
  • Densidade (contínua): \;f_X(x)\; tal que \;P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f_X(t)\,dt\;.
  • Função distribuição acumulada: \;F_X(x)=P(X\le x)\; (válida para ambos os tipos).
  • Esperança (valor médio): para discreto \;E[X]=\sum_x x\,p_X(x)\; e para contínuo \;E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx\;. Intuição: é o “centro de massa” das possibilidades.
  • Variância (medida de espalhamento): \;\mathrm{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]\;. Fórmulas práticas: \;\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2\;.

Passo 6

Exemplos rápidos (feitos passo a passo, para fixar):
  • Moeda (um lançamento): defina \;X=1 se sair cara e \;X=0 se sair coroa. Aqui \Omega=\{\text{cara},\text{coroa}\} e X mapeia \Omega para \{0,1\}. Se a moeda é justa, \;p_X(1)=1/2 e \;p_X(0)=1/2. Esperança \;E[X]=1\cdot\frac12+0\cdot\frac12=\frac12.
  • Dado (um lançamento): defina \;Y como o número mostrado. Então \;Y toma valores \{1,2,3,4,5,6\} e, se justo, \;P(Y=k)=1/6 para cada k.
  • Contínuo (ex.: uniforme em [0,1]): defina \;X com \;f_X(x)=1 para 0\le x\le1 e 0 caso contrário. Então \;P(0{,}2\le X\le0{,}7)=\int_{0{,}2}^{0{,}7}1\,dt=0{,}5.

Passo 7

Dicas práticas para prova (passo-a-passo que você pode seguir no exame):
  1. Identifique o espaço amostral \;\Omega\;.
  2. Veja qual é a regra que associa cada \omega\in\Omega a um número — essa regra é a variável aleatória X. Escreva-a explicitamente (ex.: “número de sucessos”, “valor observado”, etc.).
  3. Determine se X é discreta ou contínua (ou mista).
  4. Escreva a pmf \;p_X(x)\; ou a densidade \;f_X(x)\; e confirme que as propriedades (somar/integrar para 1) valem.
  5. Use soma ou integral adequada para calcular probabilidades e expectativas.
  6. Para verificar cálculos, tente um caso simples ou limites (por ex., probabilidade total = 1).

Resposta

Uma variável aleatória é uma função que associa a cada resultado possível de um experimento aleatório um número real, permitindo representar e calcular probabilidades e medidas (como média e variância) sobre esses resultados.

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