- Seja a v.a com função de densidade de probabilidade
, dado por
(a) Qual é o valor de c?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.\n
Temos uma variável aleatória com função de densidade dada por
Temos uma variável aleatória com função de densidade dada por
O que o exercício pergunta: (a) determinar o valor de
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
- A densidade está definida apenas para
(suporte ).\n - A densidade depende de uma constante
desconhecida que deve ser escolhida para que seja uma função de densidade válida.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática do porquê).\n
Uma função é densidade de probabilidade se e somente se satisfaz duas condições: (i)
para todo
e (ii) a integral total da densidade sobre todo o espaço vale 1, isto é,
Uma função
Aqui o suporte é
, logo a condição (ii) vira
É essa equação que vamos usar para determinar
. Não precisamos mexer na condição (i) porque a expressão exponencial é sempre positiva; então ajustar
fará
.
Passo 3
Escrever a integral de normalização e simplificar a expressão.\n
Aplicando a condição de normalização:
Aplicando a condição de normalização:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá‑lo da integral:
Passo 4
Cálculo da integral exponencial (substituição e uso de fórmula básica).\n
Faço a substituição simples para limpar o argumento do expoente: seja . Então, quando
temos
; quando
temos
. Além disso
. Assim
Faço a substituição simples para limpar o argumento do expoente: seja
Agora uso a fórmula básica de integrais exponenciais: para
,
Aqui
, logo
Passo 5
Encontrar
resolvendo a equação resultante.\n
Voltando à equação de normalização:
Voltando à equação de normalização:
Isolando
,
Passo 6
Verificação rápida e comentário final.\n
Verifico rapidamente substituindo na integral:
Verifico rapidamente substituindo
o que confirma que a escolha torna
uma densidade válida. Portanto
deve ser
. Seja gentil consigo: esse tipo de questão é padrão — identificar o suporte e impor a integral igual a 1 — e com prática vira automático.