1. Seja a v.a com função de densidade de probabilidade \mathrm{f}(\mathrm{x}), dado por
f(x)=c \exp ^{-2(x-a)}, \quad, a<x<\infty
(a) Qual é o valor de c?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.\n
Temos uma variável aleatória com função de densidade dada por
f(x)=c\exp^{-2(x-a)},\quad a<x<\infty.
O que o exercício pergunta: (a) determinar o valor de c.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • A densidade está definida apenas para x>a (suporte (a,\infty)).\n
  • A densidade depende de uma constante c desconhecida que deve ser escolhida para que f seja uma função de densidade válida.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática do porquê).\n
Uma função f é densidade de probabilidade se e somente se satisfaz duas condições: (i) f(x)\ge 0 para todo x e (ii) a integral total da densidade sobre todo o espaço vale 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Aqui o suporte é (a,\infty), logo a condição (ii) vira
\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
É essa equação que vamos usar para determinar c. Não precisamos mexer na condição (i) porque a expressão exponencial é sempre positiva; então ajustar c>0 fará f\ge0.

Passo 3

Escrever a integral de normalização e simplificar a expressão.\n
Aplicando a condição de normalização:
\int_{a}^{\infty} c\exp^{-2(x-a)}\,dx = 1.
Como c é constante em relação a x, podemos tirá‑lo da integral:
c\int_{a}^{\infty} \exp^{-2(x-a)}\,dx = 1.

Passo 4

Cálculo da integral exponencial (substituição e uso de fórmula básica).\n
Faço a substituição simples para limpar o argumento do expoente: seja u=x-a. Então, quando x=a temos u=0; quando x\to\infty temos u\to\infty. Além disso du=dx. Assim
\int_{a}^{\infty} \exp^{-2(x-a)}\,dx = \int_{0}^{\infty} \exp^{-2u}\,du.
Agora uso a fórmula básica de integrais exponenciais: para k>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-ku}\,du = \frac{1}{k}.
Aqui k=2, logo
\int_{0}^{\infty} \exp^{-2u}\,du = \frac{1}{2}.

Passo 5

Encontrar c resolvendo a equação resultante.\n
Voltando à equação de normalização:
c\cdot \frac{1}{2} = 1.
Isolando c,
c = 2.

Passo 6

Verificação rápida e comentário final.\n
Verifico rapidamente substituindo c=2 na integral:
\int_{a}^{\infty} 2\exp^{-2(x-a)}\,dx = 2\cdot\frac{1}{2}=1,
o que confirma que a escolha torna f uma densidade válida. Portanto c deve ser 2. Seja gentil consigo: esse tipo de questão é padrão — identificar o suporte e impor a integral igual a 1 — e com prática vira automático.

Resposta

c=2

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