Assumindo que
existe, determine uma fórmula para a derivada
onde
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função composta
, supondo que
exista. O conteúdo é derivação de exponencial composta em análise complexa, e vamos precisar usar a definição de potência complexa via função exponencial e logaritmo.
Passo 2
Para lidar com potências de base complexa, lembramos que
onde $\ln c$ é o logaritmo principal de $c$ (uma constante em $z$). Assim, estamos na situação de derivar \(
e^{g(z)}
) com \(
g(z)=f(z)\ln c.
]
e^{g(z)}
) com \(
g(z)=f(z)\ln c.
]
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para \(
h(z)=e^{g(z)},
) temos
h(z)=e^{g(z)},
) temos
$$
h’(z)=e^{g(z)}\cdot g’(z).
$$
h’(z)=e^{g(z)}\cdot g’(z).
$$
Como \(
g’(z)=f’(z)\ln c,
) segue que
g’(z)=f’(z)\ln c,
) segue que
$$
\frac{d}{dz}c^{f(z)} = e^{f(z)\ln c}\cdot f’(z)\ln c.
$$
\frac{d}{dz}c^{f(z)} = e^{f(z)\ln c}\cdot f’(z)\ln c.
$$
Usando novamente \(
e^{f(z)\ln c}=c^{f(z)},
) obtemos a fórmula final.
e^{f(z)\ln c}=c^{f(z)},
) obtemos a fórmula final.
Passo 4
A fórmula geral para a derivada é
$$
\frac{d}{dz}c^{f(z)} = c^{f(z)}\,f’(z)\,\ln c.
$$
\frac{d}{dz}c^{f(z)} = c^{f(z)}\,f’(z)\,\ln c.
$$
Resposta
$\frac{d}{dz}c^{f(z)} = c^{f(z)} \ln© , f’(z)$