Assumindo que f^prime(z) existe, determine uma fórmula para a derivada c^f(z) onde c in C.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta zmapsto c^f(z), supondo que f'(z) exista. O conteúdo é derivação de exponencial composta em análise complexa, e vamos precisar usar a definição de potência complexa via função exponencial e logaritmo.

Passo 2

Para lidar com potências de base complexa, lembramos que
c^f(z) = e^f(z)ln c,
onde $\ln c$ é o logaritmo principal de $c$ (uma constante em $z$). Assim, estamos na situação de derivar \(
e^{g(z)}
) com \(
g(z)=f(z)\ln c.
]

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para \(
h(z)=e^{g(z)},
) temos
$$
h’(z)=e^{g(z)}\cdot g’(z).
$$
Como \(
g’(z)=f’(z)\ln c,
) segue que
$$
\frac{d}{dz}c^{f(z)} = e^{f(z)\ln c}\cdot f’(z)\ln c.
$$
Usando novamente \(
e^{f(z)\ln c}=c^{f(z)},
) obtemos a fórmula final.

Passo 4

A fórmula geral para a derivada é
$$
\frac{d}{dz}c^{f(z)} = c^{f(z)}\,f’(z)\,\ln c.
$$

Resposta

$\frac{d}{dz}c^{f(z)} = c^{f(z)} \ln© , f’(z)$

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