Determine as integrais abaixo. Descreva qual método você vai usar para resolvê-la. Apresente todos os cálculos.
integral sen^2(3 theta+1) d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin^2(3theta+1),dtheta, usando um método adequado de integração de funções trigonométricas (identidade de potência reduzida).

Passo 2

Para eliminar o quadrado da função seno, usamos a identidade de redução de potência:
sin^2 u = 1 - cos(2u)2

Passo 3

Definindo u = 3theta+1, temos
sin^2(3theta+1) = 1 - cosl(2(3theta+1)r)2 = 1 - cos(6theta+2)2
Substituindo na integral original:
integral sin^2(3theta+1),dtheta = integral 1 - cos(6theta+2)2,dtheta

Passo 4

Separamos em duas integrais mais simples:
integral 1 - cos(6theta+2)2,dtheta = 12 integral 1,dtheta - 12 integral cos(6theta+2),dtheta
A primeira é 12 theta. Na segunda usamos a primitiva de cos(ax+b), que é 1asin(ax+b).

Passo 5

Calculando cada termo:
12 integral 1,dtheta = theta2,
-12 integral cos(6theta+2),dtheta = -12 cdot 16 sin(6theta+2) = -sin(6theta+2)12
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a forma final.

Passo 6

Após simplificar, a integral fica
integral sin^2(3theta+1),dtheta = theta2 - sin(6theta+2)12 + C

Resposta

theta2 - sin(6theta+2)12 + C

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