Assumindo que a função à direita da igualdade é a função nula, determine a solução geral de t^2 y^prime-2 t y=0, com t<0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de primeira ordem t^2y' - 2t y = 0 no domínio t<0. Vamos aplicar métodos de equações lineares e separáveis para resolver.

Passo 2

Como t<0, podemos dividir ambos os lados por t^2 (que não é zero). Assim, colocamos a equação na forma padrão de primeira ordem:
y' - 2t,y = 0

Passo 3

Essa equação é separável. Escrevemos
dyy = 2t,dt
Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 2t,dt
O que dá
ln|y| = 2ln|t| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponenciando, temos
|y| = e^C,t^2
Chamando A = pm e^C, obtemos a solução geral
y(t) = A,t^2,
válida para t<0.

Resposta

y(t) = C,t^2, onde C é constante real.

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