Determine o plano tangente à superfície z=xy no ponto (1,1,1).

Passo 1

Estamos lidando com a superfície definida por z = xy e queremos o plano tangente no ponto (1,1,1). O conteúdo envolve derivadas parciais e a construção do plano tangente de superfícies do tipo z = f(x,y). Vamos precisar de fx, fy e da fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y) = xy. Derivando em relação a x com y fixo, temos fx = 1y. Derivando em relação a y com x fixo, usamos x,y^-1 e obtemos fy = -xy^2.

Passo 3

Avaliamos as derivadas no ponto (x0,y0)=(1,1). Assim fx(1,1) = 11 = 1 e fy(1,1) = -11^2 = -1.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do plano tangente de z = f(x,y) em (x0,y0,z0):
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo z0=1, fx(1,1)=1, fy(1,1)=-1, x0=1 e y0=1, tem-se:
z - 1 = 1,(x - 1) + (-1),(y - 1)

Passo 5

Simplificando a expressão:
z - 1 = x - 1 - y + 1 Longrightarrow z = x - y + 1

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto (1,1,1) é dado por z = x - y + 1.

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