Assumindo que a função à direita da igualdade é a função nula, determine a solução geral de t y^prime+3 y=0.

Passo 1

A equação dada é t,y'+3y=0 com o lado direito nulo, ou seja, estamos diante de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem homogênea. Para resolver, vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por t (supondo tneq0):
y'+3t,y=0

Passo 3

Como é uma equação separável, escrevemos
y'=dydt=-3t,y
e então separamos as variáveis:
1y,dy=-3,1t,dt

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral1y,dy=integral-3,1t,dt
O que dá
ln|y|=-3ln|t|+C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, aplicamos exponencial em ambos os lados para achar y:
|y|=e^ln|y|=e^-3ln|t|+C=e^C,e^-3ln|t|
Como e^C é uma constante positiva arbitrária, chamamos de K, e tiramos o valor absoluto gerando a constante geral C. Assim:
y(t)=C,t^-3
Essa é a solução geral da equação.

Resposta

y(t)=C,t^{-3}

Exercícios relacionados