Assumindo que a função à direita da igualdade é a função nula, determine a solução geral de 3 y^prime-6 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de primeira ordem
3y' - 6y = 0
ou seja, uma equação linear de 1ª ordem sem termo independente; vamos usar o método de separação de variáveis ou reescrever na forma padrão para integrar.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão divindo tudo por 3 para isolar y':
y' - 2y = 0

Passo 3

Como é uma equação homogênea do tipo y' = 2y, podemos usar separação de variáveis. Escrita em diferenciales:
dydx = 2y

Passo 4

Separamos as variáveis colocando y de um lado e x do outro:
1y,dy = 2,dx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 2,dx
que resulta em
ln|y| = 2x + C1

Passo 6

Aplicamos exponencial para eliminar o logaritmo:
|y| = e^2x + C1 = e^C1e^2x
Chamando C = pm e^C1, obtemos a solução geral:
y(x) = C e^2x, CinR

Resposta

y(x) = C e^{2x}

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