Assumindo que a função à direita da igualdade é a função nula, determine a solução geral de y^prime-y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' - y = 0
Esse tipo de equação é linear homogênea e também pode ser vista como separável, então vamos usar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Podemos escrever a derivada como y' = dydx, então a equação fica
dydx = y
Isso mostra que podemos separar as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e x do outro:

Passo 3

Agora separamos e integramos:
integral 1y,dy = integral 1,dx
A integral de 1/y é ln|y| e a de 1 é x, então temos
ln|y| = x + C

Passo 4

Para isolar y, aplicamos exponencial em ambos os lados:
|y| = e^x+C = e^C ;e^x
Como e^C é sempre positivo, podemos definir uma nova constante arbitrária C1 = pm e^C, obtendo
y = C1 e^x
onde C1 é uma constante real.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C e^x,
com C sendo uma constante real.

Exercícios relacionados