Usando a regra da cadeia, determine as derivadas parciais de
, sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y, z) = x^{2} y + 3 y^{2} - z^{2} $ e sabe que $ x = 3u^{2}v $, $ y = 5u $ e $ z = 2v $. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $ usando a regra da cadeia. Então, vamos precisar entender como aplicar essa regra para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia para derivadas parciais. Se temos uma função $ f $ que depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de $ u $ e $ v $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ u $ é dada por:
E de forma similar para $ \frac{\partial f}{\partial v} $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas das variáveis intermediárias em relação a $ u $ e $ v $:
Passo 5
Vamos substituir essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial u} $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos $ x = 3u^{2}v $, $ y = 5u $ e $ z = 2v $ na expressão:
Passo 7
Fazemos o mesmo para $ \frac{\partial f}{\partial v} $:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo $ x = 3u^{2}v $, $ y = 5u $ e $ z = 2v $:
Resposta
As derivadas parciais de $ f $ são: