Usando a regra da cadeia, determine as derivadas parciais de f(x, y, z)=x^2 y+3 y^2-z^2, sabendo que x=3 u^2 v, y=5 u e z=2 v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y, z) = x^{2} y + 3 y^{2} - z^{2} $ e sabe que $ x = 3u^{2}v $, $ y = 5u $ e $ z = 2v $. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $ usando a regra da cadeia. Então, vamos precisar entender como aplicar essa regra para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia para derivadas parciais. Se temos uma função $ f $ que depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de $ u $ e $ v $, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ u $ é dada por:
f
E de forma similar para $ \frac{\partial f}{\partial v} $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
f
x
y

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas das variáveis intermediárias em relação a $ u $ e $ v $:
u
v
partial xpartial u = partialpartial u(3u^2v) = 6uv
partial ypartial u = partialpartial u(5u) = 5
partial zpartial u = partialpartial u(2v) = 0
partial xpartial v = partialpartial v(3u^2v) = 3u^2

Passo 5

Vamos substituir essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial u} $:
partial fpartial u
Simplificando:
partial fpartial u = (2xy)(6uv) + (x^2 + 6y)(5) + (-2z)(0)

Passo 6

Agora, substituímos $ x = 3u^{2}v $, $ y = 5u $ e $ z = 2v $ na expressão:
x = 3u^2v
y = 5u
z = 2v
partial fpartial u = 12uv cdot (3u^2v)(5u) + 5((3u^2v)^2 + 6 cdot 5u)

Passo 7

Fazemos o mesmo para $ \frac{\partial f}{\partial v} $:
partial fpartial v
Simplificando:
partial fpartial v = (2xy)(3u^2) + (x^2 + 6y)(0) + (-2z)(2)

Passo 8

Substituindo $ x = 3u^{2}v $, $ y = 5u $ e $ z = 2v $:
x = 3u^2v
y = 5u
z = 2v

Resposta

As derivadas parciais de $ f $ são:
f
partial fpartial u = 225u^4v^2 + 150u

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