Assumindo que a indução matemática é verdadeira em
, mostre que o princípio da boa ordenação também vale em
. Dica: suponha por absurdo que existe
não vazio tal que
não possui um menor elemento e define
. Use indução para mostrar que
, o que é uma contradição pois
, concluindo assim o PBO.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Queremos mostrar que o Princípio da Boa Ordenação (PBO) vale para os números naturais, partindo do fato de que a Indução Matemática é verdadeira nesse conjunto.
Conteúdo da matéria:
- Indução Matemática
- Princípio da Boa Ordenação
O que vamos precisar:
- Entender o que é Indução Matemática.
- Entender o que é o Princípio da Boa Ordenação.
- Usar uma prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é cada conceito.
Indução Matemática: É um método de prova onde mostramos que uma afirmação é verdadeira para o primeiro número natural (geralmente 0 ou 1), e se for verdadeira para um número qualquer n, então também é verdadeira para n+1. Isso garante que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Princípio da Boa Ordenação (PBO): Diz que todo conjunto não vazio de números naturais tem um menor elemento. Ou seja, sempre dá para encontrar o número mais pequeno dentro de qualquer conjunto não vazio de N.
Passo 3
Vamos seguir a dica da questão e fazer uma prova por contradição. Ou seja, vamos supor que o PBO não é verdadeiro e chegar a uma contradição usando a Indução Matemática.
Suposição: Existe um conjunto $ S \subset \mathbb{N} $ que não é vazio e não possui um menor elemento.
Passo 4
Definimos o conjunto $ T $ como:
O que isso significa: $ T $ consiste em todos os números naturais $ n $ tais que nenhum número de 1 até $ n $ está no conjunto $ S $. Ou seja, até $ n $, $ S $ não aparece.
Passo 5
Queremos mostrar que $ T = \mathbb{N} $, ou seja, que para todo número natural $ n $, nenhum número até $ n $ está em $ S $. Se conseguirmos mostrar isso usando Indução Matemática, teremos uma contradição, já que $ S $ não é vazio.
Passo 6
Passo base: Vamos verificar para $ n = 1 $.
Queremos ver se 1 está em $ S $.
- Se 1 não está em $ S $, então $ 1 \in T $.
- Se 1 estivesse em $ S $, isso já contradiria a suposição de que $ S $ não tem menor elemento, pois 1 seria o menor.
Portanto, 1 não está em $ S $, e assim $ 1 \in T $.
Passo 7
Passo indutivo: Vamos supor que para algum $ k \in \mathbb{N} $, todo número até $ k $ não está em $ S $, ou seja, $ k \in T $. Agora, precisamos mostrar que $ k+1 $ também está em $ T $, ou seja, que nenhum número até $ k+1 $ está em $ S $.
Se $ k+1 $ estivesse em $ S $, então $ k+1 $ seria o menor elemento de $ S $ (porque nenhum número até $ k $ está em $ S $), o que contraria nossa suposição de que $ S $ não tem menor elemento. Portanto, $ k+1 $ não está em $ S $, e assim $ k+1 \in T $.
Passo 8
Pela Indução Matemática, concluímos que $ T = \mathbb{N} $. Ou seja, nenhum número natural está em $ S $, o que implica que $ S $ é vazio. Isso contraria nossa suposição inicial de que $ S $ não é vazio.
Resposta
Assim, chegamos a uma contradição, o que mostra que nossa suposição inicial estava errada. Portanto, o Princípio da Boa Ordenação é verdadeiro em $ \mathbb{N} $.