RESOLVA A SEGUINTE EDO
y^prime+3 x^2 y=6 x^2

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem y'+3x^2y=6x^2. O conteúdo aqui é resolver equações lineares usando fator integrante, e vamos precisar da fórmula do fator integrante e da propriedade de derivada de um produto.

Passo 2

Para uma EDO da forma y'+p(x)y=q(x), o fator integrante é mu(x)=expl(integral p(x),dxr). Aqui p(x)=3x^2, então
mu(x)=expl(integral 3x^2,dxr)=exp(x^3)
Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^x^3. Como ddx[y e^x^3]=e^x^3y'+3x^2e^x^3y, a EDO vira
ddx[y e^x^3]=6x^2e^x^3

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral d[y e^x^3]=integral 6x^2e^x^3,dx
Na integral do lado direito, usamos u=x^3 de modo que du=3x^2,dx, logo
integral 6x^2e^x^3,dx=2integral e^u,du=2e^u+C=2e^x^3+C

Passo 4

Portanto
$$
y e{x3}=2e{x3}+C, y e^x^3=2e^x^3+C,
y=2+Ce{-x3}.$$

Resposta

y(x)=2+Ce^-x^3

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