O método de Frobenius para equações diferenciais consiste em encontrar soluções, também, em forma de séries de potências em torno de um ponto
onde está definida a EDO
Este método é util para quando temos as funções
e
não são analíticas em
, o que tipicamente ocorre quando esse ponto é singular, i. e., um ponto onde
e
dá problema.
Tomemos o seguinte exemplo para ilustrarmos o problema
é fácil notar que
é um ponto singular. Agora assumiremos uma solução na forma
Tomemos as derivadas
Agora para ajustarmos os índices tomemos
no primeiro termo de
(analogo para
) e
no segundo termo ( analogamente para
), de forma que podemos escrever as séries acima como
substituindo as séries acima na EDO e manipulando chegamos a seguinte equação
Igualando o coeficiente do primeiro termo a zero, onde assumimos
, obtemos a chamada equação indicial
onde obtemos
e
. Agora assumimos que os
Agora o problema se divide em dois casos onde substituimos
e
no termo de recorrência onde obteremos os termos para duas soluções. De forma que a solução geral pelo método de Frobenius depende de duas funções L.I.
e
,
onde
é sempre dada por
equanto
depende da relação entre
e
:
Agora é a sua vez, repita o processo acima para as EDOii)
2 x y^prime prime+x y^prime-2 y=0