Use indução matemática para provar as seguintes igualdades para todo n in N :
1 cdot 2+2 cdot 3+cdots+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3;

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução matemática que a soma dos produtos consecutivos de inteiros de 1 a n satisfaz
1cdot2 + 2cdot3 + cdots + n(n+1) = n(n+1)(n+2)3
Vamos usar o princípio de indução: base de indução, hipótese de indução e passo indutivo.

Passo 2

Base da indução: verificamos o caso n=1. À esquerda temos
1cdot2 = 2
e à direita
1cdot2cdot33 = 63 = 2
Como os dois lados coincidem, a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\in\mathbb{N} a igualdade seja verdadeira, ou seja,
1cdot2 + 2cdot3 + cdots + k(k+1) = k(k+1)(k+2)3

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que então vale para n=k+1. Somamos ao lado esquerdo o próximo termo:
1cdot2 + cdots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)3 + (k+1)(k+2)
Em seguida, fatoramos (k+1)(k+2):
k(k+1)(k+2)3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)l(k3 + 1r) = (k+1)(k+2)k+33 = (k+1)(k+2)(k+3)3
Isso é exatamente a fórmula com n=k+1.

Passo 5

Como a base e o passo indutivo foram verificados, pelo princípio da indução matemática a igualdade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} vale
1cdot2 + 2cdot3 + cdots + n(n+1) = n(n+1)(n+2)3

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