O método de Frobenius para equações diferenciais consiste em encontrar soluções, também, em forma de séries de potências em torno de um ponto onde está definida a EDO
Este método é util para quando temos as funções e não são analíticas em , o que tipicamente ocorre quando esse ponto é singular, i. e., um ponto onde e dá problema.
Tomemos o seguinte exemplo para ilustrarmos o problema
é fácil notar que é um ponto singular. Agora assumiremos uma solução na forma
Tomemos as derivadas
Agora para ajustarmos os índices tomemos no primeiro termo de (analogo para ) e no segundo termo ( analogamente para ), de forma que podemos escrever as séries acima como
substituindo as séries acima na EDO e manipulando chegamos a seguinte equação
Igualando o coeficiente do primeiro termo a zero, onde assumimos , obtemos a chamada equação indicial
onde obtemos e . Agora assumimos que os
Agora o problema se divide em dois casos onde substituimos e no termo de recorrência onde obteremos os termos para duas soluções. De forma que a solução geral pelo método de Frobenius depende de duas funções L.I. e ,
onde é sempre dada por
equanto depende da relação entre e :
Agora é a sua vez, repita o processo acima para as EDOii) 2 x y^prime prime+x y^prime-2 y=0
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO 2x y’’ + x y’ - 2y = 0 em torno de x₀=0 pelo método de Frobenius. Precisamos encontrar a equação indicial, as raízes r, a relação de recorrência para os coeficientes aₙ e, a partir daí, as duas soluções independentes y₁ e y₂.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma y(x)=sumn=0^infty an x^n+r. Então
y'=sumn=0^infty (n+r)an x^n+r-1,
y''=sumn=0^infty (n+r)(n+r-1)an x^n+r-2
Passo 3
Multiplicamos pelo coeficiente em cada termo da EDO:
2x y''=sumn=0^infty 2(n+r)(n+r-1)an x^n+r-1,
x y'=sumn=0^infty (n+r)an x^n+r,
-2y=sumn=0^infty -2an x^n+r
Passo 4
Para combinar tudo num mesmo expoente x^j+r-1, fazemos nos termos de ordem mais alta (x y' e -2y) o deslocamento j=n+1. Assim obtemos
2x y''=sumj=0^infty 2(j+r)(j+r-1)aj x^j+r-1,
x y'=sumj=1^infty (j+r-1)aj-1x^j+r-1,
-2y=sumj=1^infty -2aj-1x^j+r-1
Passo 5
Substituindo na EDO e agrupando em potências de x^j+r-1: