Assumindo que não há perguntas deixadas sem resposta, de quantas maneiras um teste de verdadeiro ou falso pode ser respondido?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Assumindo que não há perguntas deixadas sem resposta, de quantas maneiras um teste de verdadeiro ou falso pode ser respondido?”
Informações dadas (explicitadas):
  • Há um certo número de perguntas, que vou chamar de n.
  • Cada pergunta deve ser respondida (não pode ficar em branco).
  • Cada pergunta tem exatamente duas opções: verdadeiro (V) ou falso (F).
    Pedido: encontrar o número total de maneiras diferentes de preencher todas as respostas do teste, em função de n.

Passo 2

Vamos analisar um caso simples: se o teste tiver apenas uma pergunta ( n=1), quantas maneiras existem de respondê-la?
Cada pergunta tem duas opções: V ou F. Então, para n=1 há exatamente 2 maneiras. Ou seja, quando n=1 o total é 2.

Passo 3

Agora veja n=2 perguntas. Para a primeira pergunta há 2 opções e, independentemente da primeira, para a segunda também há 2 opções. Usando raciocínio simples, as combinações possíveis são: (\text{V},\text{V}),(\text{V},\text{F}),(\text{F},\text{V}),(\text{F},\text{F}). Isso dá 4 maneiras, que é 2\times2=2^2.

Passo 4

Explicando a regra usada: princípio multiplicativo (ou regra do produto). Ele diz que se uma escolha pode ser feita de a maneiras e, para cada uma dessas escolhas, outra escolha independente pode ser feita de b maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de a\cdot b maneiras. Generalizando, se há n escolhas independentes e a i-ésima escolha tem k_i opções, o total de combinações é \prod_{i=1}^{n} k_i.

Passo 5

Aplicando ao nosso problema: cada uma das n perguntas é uma escolha independente com 2 opções. Logo o número total de maneiras é
\prod_{i=1}^{n} 2 = 2 \times 2 \times \cdots \times 2 \\ (\text{com } n \text{ fatores}) = 2^{n}.
Interpretando: o expoente n significa multiplicar 2 por si mesmo n vezes — cada multiplicação corresponde a uma pergunta adicional cuja resposta dobra o número de combinações possíveis.

Passo 6

Observações úteis para a prova (curtas e práticas):
  • Se o teste tiver 10 perguntas, por exemplo, o total é \,2^{10}=1024.
  • Caso n=0 (nenhuma pergunta), a fórmula dá \,2^{0}=1, que faz sentido: há exatamente uma forma de “responder” nada (a folha vazia).

Resposta

2^{n}

Exercícios relacionados