Assumindo que não há perguntas deixadas sem resposta, de quantas maneiras um teste de verdadeiro ou falso pode ser respondido?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Assumindo que não há perguntas deixadas sem resposta, de quantas maneiras um teste de verdadeiro ou falso pode ser respondido?”
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- Há um certo número de perguntas, que vou chamar de
. - Cada pergunta deve ser respondida (não pode ficar em branco).
- Cada pergunta tem exatamente duas opções: verdadeiro (V) ou falso (F).
Pedido: encontrar o número total de maneiras diferentes de preencher todas as respostas do teste, em função de.
Passo 2
Vamos analisar um caso simples: se o teste tiver apenas uma pergunta (
), quantas maneiras existem de respondê-la?
Cada pergunta tem duas opções: V ou F. Então, para há exatamente
maneiras. Ou seja, quando
o total é
.
Cada pergunta tem duas opções: V ou F. Então, para
Passo 3
Agora veja
perguntas. Para a primeira pergunta há
opções e, independentemente da primeira, para a segunda também há
opções. Usando raciocínio simples, as combinações possíveis são:
. Isso dá
maneiras, que é
.
Passo 4
Explicando a regra usada: princípio multiplicativo (ou regra do produto). Ele diz que se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, para cada uma dessas escolhas, outra escolha independente pode ser feita de
maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de
maneiras. Generalizando, se há
escolhas independentes e a
-ésima escolha tem
opções, o total de combinações é
.
Passo 5
Aplicando ao nosso problema: cada uma das
perguntas é uma escolha independente com
opções. Logo o número total de maneiras é
Interpretando: o expoente
significa multiplicar
por si mesmo
vezes — cada multiplicação corresponde a uma pergunta adicional cuja resposta dobra o número de combinações possíveis.
Passo 6
Observações úteis para a prova (curtas e práticas):
- Se o teste tiver
perguntas, por exemplo, o total é . - Caso
(nenhuma pergunta), a fórmula dá , que faz sentido: há exatamente uma forma de “responder” nada (a folha vazia).