Nos exercícios de 17 a 20, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa Se for falsa, reescreva-a de forma que seja verdadeira.
17) Se você rolar um dado de seis lados seis vezes, você irá tirar um número par pelo menos uma vez.

Passo 1

O enunciado diz: “Se você rolar um dado de seis lados seis vezes, você irá tirar um número par pelo menos uma vez.”
Informações dadas e o que está implícito:
  • Cada lançamento é de um dado com faces 1,2,3,4,5,6.
  • Números pares no dado: 2,4,6 (são 3 faces).
  • Números ímpares no dado: 1,3,5 (são 3 faces).
  • Serão feitos 6 lançamentos.
    A pergunta implícita é: a afirmação “você irá tirar um número par pelo menos uma vez” é verdadeira ou falsa? Se for falsa, reescrever a afirmação de forma verdadeira.

Passo 2

Calcular a probabilidade de obter um número par em um único lançamento.
Explicação: a probabilidade de um evento é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados igualmente prováveis. Aqui, resultados favoráveis (pares) são 3 e total de resultados é 6. Portanto a probabilidade de obter um par num lançamento é
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Entender eventos complementares e independência.
  • “Pelo menos um par em 6 lançamentos” é o evento complementar de “nenhum par em 6 lançamentos” (ou seja, todos os lançamentos dão ímpar). É geralmente mais fácil calcular a probabilidade do complementar e subtrair de 1.
  • Assumir que os lançamentos são independentes significa que a probabilidade de uma sequência de resultados é o produto das probabilidades individuais. Assim, se em cada lançamento a probabilidade de sair ímpar é 1/2, a probabilidade de sair ímpar em todos os 6 lançamentos é \left(\tfrac{1}{2}\right)^6.

Passo 4

Calcular a probabilidade de não obter nenhum par (todos ímpares) e, então, de obter pelo menos um par.
Probabilidade de todos os 6 lançamentos serem ímpares:
\left(\frac{1}{2}\right)^6.
Usando a regra do complementar, a probabilidade de obter pelo menos um par em 6 lançamentos é
1-\left(\frac{1}{2}\right)^6.

Passo 5

Avaliar numericament e simplificar:
\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64}, \qquad 1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}.
Como decimal isso é \,0,984375. Logo a probabilidade de obter pelo menos um número par em seis lançamentos é \dfrac{63}{64}, que é menor que 1 (não é certeza absoluta, embora seja muito provável).

Passo 6

Conclusão sobre a afirmação original e reescrita verdadeira.
  • A afirmação original “você irá tirar um número par pelo menos uma vez” afirma certeza absoluta (probabilidade 1). Isso é falso porque existe a possibilidade (pequena) de todos os lançamentos serem ímpares.
  • Uma reescrita verdadeira é: “Ao rolar um dado de seis lados seis vezes, a probabilidade de obter pelo menos um número par é \dfrac{63}{64}.”

Resposta

Falsa. Reescrita verdadeira: Ao rolar um dado de seis lados seis vezes, a probabilidade de obter pelo menos um número par é \dfrac{63}{64} (aproximadamente 0,984375).

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