Assumindo que x in(0,1), simplifique as funções abaixo eliminando as funções trigonométricas de suas expressões: f4(x)=cos (4 arccos x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar a função f4(x) = cos(4 arccos x), onde x está entre 0 e 1. Vamos usar trigonometria, mais especificamente as identidades de ângulo múltiplo, para eliminar as funções trigonométricas da expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar arccos x de theta. Então, temos que x = cos theta. Agora, nossa função fica assim: f4(x) = cos(4theta).

Passo 3

Agora, precisamos simplificar cos(4theta). Para isso, vamos usar a fórmula de ângulo múltiplo para o cosseno:
cos(4theta) = 8cos^4 theta - 8cos^2 theta + 1
Essa fórmula expressa o cosseno de quatro vezes um ângulo em termos do cosseno do ângulo original.

Passo 4

Lembrando que x = cos theta, vamos substituir cos theta por x na expressão:
cos(4theta) = 8x^4 - 8x^2 + 1

Resposta

Portanto, a expressão simplificada de f4(x), sem funções trigonométricas, é:
f4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1

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