Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
d^2 yd x^2+2 cdot d yd x+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes y''+2y'+2y=0. O conteúdo envolvido é a resolução pela equação característica e o tratamento de raízes complexas.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na equação y''+2y'+2y=0, obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 2 = 0

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática. O discriminante é De, logo
r = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 4

Pela teoria de equações lineares com coeficientes constantes, quando as raízes da característica são complexas conjugadas alpha pm ibeta, a solução geral é dada por
y(x) = e^alpha xl(C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x)r)

Resposta

Substituindo alpha = -1 e beta = 1, a solução geral é
y(x) = e^-xl(C1 cos x + C2 sin xr)

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