Assumindo que x>0, simplifique as funções abaixo eliminando as funções trigonométricas de suas expressões: f(x)=tg(arcsec x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para simplificar a função eliminando as funções trigonométricas, considerando que . Isso envolve entender as funções trigonométricas inversas, como a arsecante (), e como relacioná-las com as funções trigonométricas usuais, como a tangente ( ). Precisaremos usar identidades trigonométricas e algumas relações fundamentais de triângulos retângulos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A arsecante de sec, theta = x , , é o ângulo cujo secante é . Em outras palavras:
Como , podemos montar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é e o cateto adjacente é 1 (para simplificar).

Passo 3

Agora, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o cateto oposto. Sabemos que em um triângulo retângulo:
hipotenusa^2 = cateto adjacente^2 + cateto oposto^2
Substituindo os valores:
x^2 = 1^2 + cateto oposto^2
x^2 = 1 + cateto oposto^2
cateto oposto^2 = x^2 - 1
cateto oposto = raizx^2 - 1

Passo 4

Agora que temos todos os lados do triângulo, podemos encontrar tan, theta = cateto opostocateto adjacente = raizx^2 - 11 = raizx^2 - 1 onde . A tangente é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:

Resposta

Portanto, a função simplificada é:
f(x) = raizx^2 - 1

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