Prove que sen : [-pi2, pi2] R é estritamente crescente.
31. Prove que tg x é estritamente crescente em ]-pi2, pi2[.

Passo 1

Neste exercício, queremos provar que a função sincolon [-tfracpi2,tfracpi2]toR é estritamente crescente e que tan x é estritamente crescente em ( -tfracpi2,tfracpi2 ). O conteúdo é monotonicidade de funções via derivada, e vamos precisar do Teorema do Valor Médio (TVM).

Passo 2

O Teorema do Valor Médio diz que se uma função f for derivável em um intervalo aberto e contínua no fechamento, e satisfizer f'(x)>0 para todo ponto do intervalo aberto, então f é estritamente crescente no intervalo fechado correspondente. Vamos usar isso para sin x e tan x.

Passo 3

A derivada de sin x é dada por
[
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x
]
Precisamos, portanto, analisar o sinal de cos x em [ -tfracpi2,tfracpi2].

Passo 4

Sabemos que o cosseno é positivo em todo o intervalo aberto ( -tfracpi2,tfracpi2 ) e zera apenas nos extremos x=pmtfracpi2. Logo cos x>=0 no intervalo fechado e cos x>0 no intervalo aberto. Assim, pela condição de derivada positiva no interior, concluímos que sin x é estritamente crescente em [ -tfracpi2,tfracpi2].

Passo 5

A derivada de tan x vem de tan x=sin xcos x e é
[
\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
]
Como em ( -tfracpi2,tfracpi2 ) temos cos xneq0, segue que 1cos^2 x>0 em todo o intervalo. Portanto, tan x é estritamente crescente em ( -tfracpi2,tfracpi2 ).

Resposta

Portanto, a função sin x é estritamente crescente em [ -tfracpi2,tfracpi2] e a função tan x é estritamente crescente em ( -tfracpi2,tfracpi2 ), pois suas derivadas são positivas nos respectivos intervalos.

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