Prove que sen :
é estritamente crescente.
31. Prove que
é estritamente crescente em
.
31. Prove que
Passo 1
Neste exercício, queremos provar que a função
é estritamente crescente e que
é estritamente crescente em
. O conteúdo é monotonicidade de funções via derivada, e vamos precisar do Teorema do Valor Médio (TVM).
Passo 2
O Teorema do Valor Médio diz que se uma função
for derivável em um intervalo aberto e contínua no fechamento, e satisfizer
para todo ponto do intervalo aberto, então
é estritamente crescente no intervalo fechado correspondente. Vamos usar isso para
e
.
Passo 3
A derivada de
é dada por
[
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x
]
Precisamos, portanto, analisar o sinal de em
.
[
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x
]
Precisamos, portanto, analisar o sinal de
Passo 4
Sabemos que o cosseno é positivo em todo o intervalo aberto
e zera apenas nos extremos
. Logo
no intervalo fechado e
no intervalo aberto. Assim, pela condição de derivada positiva no interior, concluímos que
é estritamente crescente em
.
Passo 5
A derivada de
vem de
e é
[
\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
]
Como em temos
, segue que
em todo o intervalo. Portanto,
é estritamente crescente em
.
[
\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
]
Como em
Resposta
Portanto, a função
é estritamente crescente em
e a função
é estritamente crescente em
, pois suas derivadas são positivas nos respectivos intervalos.