Assumindo que x>0, simplifique as funções abaixo eliminando as funções trigonométricas de suas expressões.
(a) f(x)=tg(arcsec x).

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a função f(x)=tg(arcsec x) assumindo x>0. O conteúdo envolve funções trigonométricas inversas e identidades trigonométricas; vamos usar a definição de arcsec e a relação entre sec e tan.

Passo 2

Definimos theta = arcsec x. Isso implica que sec theta = x. Como sec theta = 1/cos theta, segue que cos theta = 1/x.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica tan^2 theta + 1 = sec^2 theta. Substituindo sec theta = x obtemos:
tan^2 theta = sec^2 theta - 1 = x^2 - 1
Como x>0, o ângulo theta está no primeiro quadrante, onde tan theta é não-negativo. Logo,
tan theta = raizx^2 - 1

Passo 4

Finalmente, como f(x)=tan(arcsec x)=tan theta, temos que
f(x)=raizx^2 - 1

Resposta

raizx^2 - 1

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