Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
(a) dd x(2 x^5-x^36+4 x-7)
(b) (e^x+3)^prime
© (x^5 sen x)^prime
(d) (2 raizt cos t)^prime
(e) (x ln x-x)^prime
(f) (x+2 x cos x)^prime
(g) (sen^2(x))^prime
(h) (x^2 cdot ln x cdot sen(x))^prime
(i) (x^2+2x^3)^prime
(j) dd theta(sen thetatheta)
(k) dd x(1x^3-4 x^2+2)
(l) dd x(e^x tg x)
(m) (e^-s)^prime
(n) dd x(x e^xx+1)
(o) dd x(cotg x).

Passo 1

Neste exercício vamos calcular as derivadas usando as regras de derivação: soma, potência, produto, quociente e cadeia. Precisaremos também das derivadas elementares de e^x, ln x, sin x, cos x, tan x, cot x e seus recíprocos.

Passo 2

Para (a) f(x)=2x^5-tfracx^36+4x-7, aplicamos a regra da soma e a regra da potência termo a termo. Derivada de 2x^5 é 10x^4, de -tfracx^36 é -tfracx^22, de 4x é 4 e de constante é 0.

Passo 3

Para (b) f(x)=e^x+3, usamos a regra da cadeia: derivada de e^u é e^u u'. Aqui u=x+3 e u'=1, logo f'(x)=e^x+3.

Passo 4

Para © f(x)=x^5sin x, aplicamos a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Com u=x^5 e v=sin x, temos u'=5x^4 e v'=cos x. Assim f'=5x^4sin x + x^5cos x.

Passo 5

Para (d) f(t)=2raiz tcos t=2t^1/2cos t, também usamos produto. Seja u=2t^1/2, então u'=t^-1/2, e v=cos t, v'=-sin t. Logo f'=t^-1/2cos t -2t^1/2sin t.

Passo 6

Para (e) f(x)=xln x - x. Em xln x usamos produto: derivada é 1cdotln x + xcdot(1/x)=ln x+1. Subtraindo a derivada de x (que é 1) sobra f'(x)=ln x.

Passo 7

Para (f) f(x)=x+2xcos x. A soma de x (derivada 1) com 2xcos x exige produto: derivada de 2xcos x é 2(cos x - xsin x). Logo f'(x)=1+2cos x -2xsin x.

Passo 8

Para (g) f(x)=sin^2 x é função composta u^2 com u=sin x. Então f'=2u,u'=2sin xcos x.

Passo 9

Para (h) f(x)=x^2ln xsin x é produto de três fatores. A derivada geral é soma das derivadas de cada fator multiplicada pelos outros dois. Assim
f'=2xln xsin x + x^2(1/x)sin x + x^2ln xcos x.

Passo 10

Para (i) g(x)=x^2+2x^3, reescrevemos como x^-1+2x^-3 e usamos a potência: derivada é -x^-2-6x^-4.

Passo 11

Para (j) h(theta)=sinthetatheta, usamos quociente: (u/v)'=(u'v - uv')/v^2 com u=sintheta, v=theta. Assim h'=thetacostheta - sinthetatheta^2.

Passo 12

Para (k) j(x)=1x^3-4x^2+2 é (u)^-1 com u=x^3-4x^2+2. Pela cadeia j'=-u'/u^2 e u'=3x^2-8x.

Passo 13

Para (l) k(x)=e^xtan x, usamos produto: k'=e^xtan x + e^xsec^2 x = e^x(tan x + sec^2 x).

Passo 14

Para (m) m(s)=e^-s, aplicação direta da cadeia dá m'=-e^-s.

Passo 15

Para (n) p(x)=x e^xx+1, quociente com u=x e^x ( u'=e^x(1+x)) e v=x+1 ( v'=1). Depois de simplificar chega-se a p'=e^x(x^2+x+1)(x+1)^2.

Passo 16

Para (o) f(x)=cot x, lembramos que (cot x)'=-csc^2 x.

Resposta

a) 10x^4 - x^22 + 4; b) e^x+3; c) 5x^4sin x + x^5cos x; d) cos traiz t -2raiz tsin t; e) ln x; f) 1 +2cos x -2xsin x; g) 2sin xcos x; h) 2xln xsin x + xsin x + x^2ln xcos x; i) -tfrac1x^2 - tfrac6x^4; j) tfracthetacostheta -sinthetatheta^2; k) -tfrac3x^2 -8x(x^3 -4x^2 +2)^2; l) e^x(tan x +sec^2 x); m) -e^-s; n) tfrace^x(x^2 + x +1)(x+1)^2; o) -csc^2 x.

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