integral0^2 pi raiz2 cdot sen^2(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^2 pi raiz2 cdot sin^2(t) , dt. O que precisamos aqui é calcular a área sob a curva da função raiz2 cdot sin^2(t) de t = 0 até t = 2pi. Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Podemos colocar a constante raiz2 fora da integral:
raiz2 integral0^2 pi sin^2(t) , dt

Passo 3

Agora, precisamos integrar sin^2(t). Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração de funções ao quadrado. A identidade é:
sin^2(t) = 1 - cos(2t)2

Passo 4

Substituindo a identidade na integral, temos:
raiz2 integral0^2 pi 1 - cos(2t)2 , dt = raiz22 integral0^2 pi (1 - cos(2t)) , dt

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
raiz22 ( integral0^2 pi 1 , dt - integral0^2 pi cos(2t) , dt )

Passo 6

Calculando cada integral:
  1. integral0^2 pi 1 , dt = [t]0^2pi = 2pi
  2. integral0^2 pi cos(2t) , dt = [ sin(2t)2 ]0^2pi = 0 (já que sin(4pi) = sin(0) = 0)

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais:
raiz22 (2pi - 0) = raiz22 cdot 2pi

Passo 8

Simplificando:
raiz22 cdot 2pi = raiz2 cdot pi

Resposta

O valor da integral é raiz2 cdot pi.

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