Assumindo que x>0, simplifique as funções abaixo eliminando as funções trigonométricas de suas expressões: m(x)=sen(arccossec x).

Passo 1

A questão pede pra simplificar a função m(x)=sin(arccossec x) assumindo x>0. O conteúdo aqui é funções trigonométricas inversas (especificamente arcsec) e a identidade pitagórica para expressar seno em termos de secante.

Passo 2

Seja theta = arccossec(x). Por definição de secante inversa temos sectheta = x. Num triângulo retângulo associado a theta, sectheta=hipotenusaadjacente, então podemos escolher hipotenusa = x e cateto adjacente = 1. Pelo teorema de Pitágoras o cateto oposto vale
oposto = raizhipotenusa^2 - adjacente^2 = raizx^2 - 1
Agora usamos a definição de seno: sintheta = cateto opostohipotenusa. Substituindo os valores achados no triângulo,
sintheta = raizx^2 - 1x
Como theta = arccossec(x), concluímos que m(x)=sin(arccossec x)=dfracraizx^2-1x.

Resposta

dfracraizx^2-1x

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