Assumindo que x>0, simplifique as funções abaixo eliminando as funções trigonométricas de suas expressões: n(x)=sen(arctg x).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede pra gente simplificar a função eliminando as funções trigonométricas. Isso envolve trigonometria, especificamente funções trigonométricas e inversas. Vamos precisar lembrar como relacionar essas funções usando um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o ângulo interno do arco tangente de theta = arctan(x) . Então, temos:
tan(theta) = x
Isso significa que:
E por definição, a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é o cateto oposto sobre o cateto adjacente. Vamos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é e o cateto adjacente é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a hipotenusa desse triângulo. Usamos o Teorema de Pitágoras:
hipotenusa = raiz(oposto)^2 + (adjacente)^2 = raizx^2 + 1

Passo 4

Com o triângulo definido, podemos agora encontrar o seno do ângulo sin(theta) = opostohipotenusa = xraizx^2 + 1 . O seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa:

Resposta

Portanto, a função simplificada é:
n(x) = xraizx^2 + 1

Exercícios relacionados