Em que intervalo a função
é côncava para baixo?
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A questão é sobre encontrar em qual intervalo a função $ f(x) = \int_{-2}^{x} \frac{1}{t^{2} + t + 1} , dt $ é côncava para baixo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo relacionados à derivação e concavidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função definida por uma integral, como $ f(x) $, pode ser encontrada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Então, podemos calcular a primeira derivada $ f’(x) $.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $ para determinar a concavidade da função.
Passo 4
Vamos derivar $ f’(x) $ em relação a $ x $ para obter $ f’’(x) $:
Usando a regra da derivada de uma fração, temos:
Passo 5
Para determinar onde a função é côncava para baixo, precisamos identificar onde a segunda derivada $ f’’(x) $ é negativa:
Isso significa que:
Passo 6
Vamos analisar o sinal dessa expressão. O denominador $ (x^{2} + x + 1)^{2} $ é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo. Portanto, o sinal de $ f’’(x) $ depende apenas do numerador $ -(2x + 1) $.
Passo 7
Queremos que $ f’’(x) < 0 $:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da inequação):
Resolvendo para $ x $:
Resposta
A função $ f(x) $ é côncava para baixo quando $ x > -\frac{1}{2} $. Portanto, o intervalo procurado é $ x \in \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right) $.