Assumindo que x>0, simplifique as funções abaixo eliminando as funções trigonométricas de suas expressões: a(x)=sec (arccotg x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você tem. A questão pede para simplificar a função , eliminando as funções trigonométricas da expressão, dado que . Vamos precisar entender como trabalhar com funções trigonométricas inversas e como simplificá-las usando um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função arccotangente. A função cot(theta) = x é o ângulo cujo cotangente é . Ou seja, se chamarmos esse ângulo de , temos:

Passo 3

Agora, vamos imaginar um triângulo retângulo onde um dos ângulos agudos é cot(theta) = lado adjacentelado oposto = x . Sabemos que:
Podemos escolher, para simplificar, que o lado adjacente seja e o lado oposto seja .

Passo 4

Com esses valores, podemos calcular a hipotenusa do triângulo usando o teorema de Pitágoras:
hipotenusa = raizx^2 + 1^2 = raizx^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar cos(theta) = lado adjacentehipotenusa = xraizx^2 + 1 , que é a relação entre o lado adjacente e a hipotenusa:

Passo 6

Sabemos que sec(theta) = 1cos(theta) = raizx^2 + 1x é o inverso de :

Resposta

Portanto, a expressão simplificada de a(x) = raizx^2 + 1x é:

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