Seja a equação diferencial
, onde
e
são constantes e
. Considere a mudança de variáveis
. Resolva a EDO e determine uma solução para a EDO original (Esta equação é conhecida como equação de Euler).
Passo 1
Temos a equação de Euler
,
, com constantes
e condição
. Vamos usar a mudança de variável
para transformar em uma EDO com coeficientes constantes.
Passo 2
Como
, aplicamos a regra da cadeia:
-
. -
.
Passo 3
Substituindo em
e multiplicando por
obtemos a EDO em
:
Passo 4
A equação característica é
cujas raízes são
Passo 5
Como
, temos duas situações:
- Se
, escrevemos com
e a solução em
Passo 6
- Se
, as raízes coincidem e
Passo 7
Voltando a
, temos
e obtemos a solução na variável original.
Resposta
Para (α−1)^2<4β:
Para (α−1)^2=4β: