Seja a equação diferencial x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0, x>0, onde alpha e beta são constantes e (alpha-1)^2 <= 4 beta. Considere a mudança de variáveis x=e^z. Resolva a EDO e determine uma solução para a EDO original (Esta equação é conhecida como equação de Euler).

Passo 1

Temos a equação de Euler x^2y''+alpha x y'+beta y=0, x>0, com constantes alpha,beta e condição (alpha-1)^2<=4beta. Vamos usar a mudança de variável x=e^z para transformar em uma EDO com coeficientes constantes.

Passo 2

Como z=ln x, aplicamos a regra da cadeia:
  • dydx=dydzdzdx=1xdydz.
  • d^2ydx^2=ddxl(1xdydzr)=1x^2l(d^2ydz^2-dydzr).

Passo 3

Substituindo em x^2y''+alpha x y'+beta y=0 e multiplicando por x^2 obtemos a EDO em z:

Passo 4

A equação característica é
r^2+(alpha-1)r+beta=0,
cujas raízes são
r1,2=-(alpha-1)pmraiz(alpha-1)^2-4beta2

Passo 5

Como (alpha-1)^2<=4beta, temos duas situações:
  • Se (alpha-1)^2<4beta, escrevemos r=lambdapm imu com
lambda=1-alpha2, mu=raiz4beta-(alpha-1)^22,
e a solução em z é
y(z)=e^lambda zl(C1cos(mu z)+C2sin(mu z)r)

Passo 6

  • Se (alpha-1)^2=4beta, as raízes coincidem r=-alpha-12 e
y(z)=e^-alpha-12zl(C1+C2zr)

Passo 7

Voltando a x=e^z, temos z=ln x e obtemos a solução na variável original.

Resposta

Para (α−1)^2<4β:
y(x)=x^1-α2l(C1cos(μln x)+C2sin(μln x)r), μ=raiz4β−(α−1)^22
Para (α−1)^2=4β:
y(x)=x^1-α2l(C1+C2ln xr)

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