A EDO de Euler-Cauchy de ordem 2, que tem a forma geral
onde
e
são constantes. Mostre que:
se
com
a solução geral da EDO é
, para
.
se
Passo 1
Temos uma EDO de Euler-Cauchy de 2ª ordem para
, que se escreve:
Passo 2
Aplicamos o ansatz
. As derivadas são
Passo 3
Como
para
, a parte significativa é a equação indicial
Passo 4
No caso de raiz dupla, já temos uma solução
. Para achar uma segunda solução independente, consideramos a família
e diferenciamos em relação a
:
Passo 5
A solução geral de uma EDO linear de 2ª ordem é combinação linear de duas soluções independentes. Logo,
Resposta
y(x) = x^{r_{1}}\bigl(C_{1} + C_{2} \ln x)