A EDO de Euler-Cauchy de ordem 2, que tem a forma geral
x^2 cdot d^2 yd x^2+p x cdot d yd x+q y=0, para x>0
onde p e q são constantes. Mostre que:
se r1, r2 in R com r1=r2 a solução geral da EDO é y(x)=x^r1(C1+C2 ln x), para x>0.

Passo 1

Temos uma EDO de Euler-Cauchy de 2ª ordem para x>0, que se escreve:
x^2,d^2ydx^2 + p x,dydx + q y = 0, com p e q constantes. Queremos mostrar que, quando a equação característica possui raiz dupla r1 = r2, a solução geral é y(x)=x^r1(C1 + C2 ln x). Para isso, vamos usar o ansatz y=x^r e também o truque de diferenciar em relação ao parâmetro r.

Passo 2

Aplicamos o ansatz y = x^r. As derivadas são
dydx = r x^r-1, d^2ydx^2 = r(r-1) x^r-2 Substituindo na EDO original:
x^2cdot r(r-1)x^r-2 + p xcdot r x^r-1 + q x^r = 0, simplifica para
x^r l(r(r-1) + p r + qr) = 0

Passo 3

Como x^rneq0 para x>0, a parte significativa é a equação indicial
r(r-1) + p r + q = 0 Escrevendo-a em forma padrão fica r^2 + (p-1)r + q = 0. Se o discriminante De, então as raízes coincidem: r1 = r2.

Passo 4

No caso de raiz dupla, já temos uma solução y1(x)=x^r1. Para achar uma segunda solução independente, consideramos a família y(x;r)=x^r e diferenciamos em relação a r:
partial ypartial r = x^r ln x Avaliando em r=r1 obtemos y2(x)=x^r1ln x, que satisfaz a mesma EDO e é independente de y1.

Passo 5

A solução geral de uma EDO linear de 2ª ordem é combinação linear de duas soluções independentes. Logo,
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) = C1 x^r1 + C2 x^r1ln x

Resposta

y(x) = x^{r_{1}}\bigl(C_{1} + C_{2} \ln x)

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