Assuming that the equations in Exercises 25-30 define y as a differentiable function of x, use Theorem 8 to find the value of d y / d x at the given point.
x^{3}-2 y^{2}+x y=0, \quad(1,1)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{3}-2y^{2}+xy=0
e pede o valor de \dfrac{dy}{dx} no ponto (1,1).
Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona x e y e define y como função diferenciável de x perto de (1,1).
  • O ponto onde devemos avaliar é (x,y)=(1,1).
  • Precisamos usar o Teorema 8 (que trata de diferenciação implícita) para achar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Explicando o Teorema 8 de forma prática e por que ele funciona (aula rápida e calma):
  • Seja uma função F(x,y) com derivadas parciais contínuas. Se a equação
F(x,y)=0
define y como uma função diferenciável de x perto de um ponto e se \dfrac{\partial F}{\partial y}\neq0 nesse ponto, então podemos diferenciar implicitamente e obter
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}.
  • O que são \dfrac{\partial F}{\partial x} e \dfrac{\partial F}{\partial y}? São as derivadas parciais de F: para \dfrac{\partial F}{\partial x} trata-se da taxa de variação de F quando x varia e y é mantido fixo; para \dfrac{\partial F}{\partial y} é a taxa quando y varia e x é mantido fixo.
  • Por que a fórmula? Diferenciando F(x,y(x))=0 em relação a x, pela regra da cadeia,
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}=0,
daí isolando \dfrac{dy}{dx} resulta a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: defino
F(x,y)=x^{3}-2y^{2}+xy.
Agora calculo as derivadas parciais necessárias, explicando cada termo:
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial x}: trato y como constante.
    • A derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}.
    • A derivada de -2y^{2} em relação a x é 0 (pois y é constante aqui).
    • A derivada de xy em relação a x é y (pois é x vezes constante y).
      Portanto
    \frac{\partial F}{\partial x}=3x^{2}+y.
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial y}: trato x como constante.
    • A derivada de x^{3} em relação a y é 0.
    • A derivada de -2y^{2} em relação a y é -4y (pois \frac{d}{dy}y^{2}=2y e multiplicando por -2 -4y).
    • A derivada de xy em relação a y é x.
      Portanto
    \frac{\partial F}{\partial y}=-4y+x.

Passo 4

Usando a fórmula do Teorema 8,
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}} = -\,\frac{3x^{2}+y}{-4y+x}.
Simplificando o sinal no denominador,
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+y}{4y-x}.
Antes de avaliar, checo a condição do teorema: \dfrac{\partial F}{\partial y} não pode ser zero no ponto. Em (1,1),
\frac{\partial F}{\partial y}\Big|_{(1,1)} = -4\cdot1 + 1 = -3 \neq 0,
logo a aplicação é válida.

Passo 5

Agora avalio \dfrac{dy}{dx} em (1,1). Substituindo x=1 e y=1 na expressão
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+y}{4y-x},
obtenho
\frac{dy}{dx}\Big|_{(1,1)}=\frac{3\cdot1^{2}+1}{4\cdot1-1}=\frac{3+1}{4-1}=\frac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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