Assuming that the equations in Exercises 25-30 define y as a differentiable function of x, use Theorem 8 to find the value of d y / d x at the given point. x^{3}-2 y^{2}+x y=0, \quad(1,1)
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
x^{3}-2y^{2}+xy=0
e pede o valor de \dfrac{dy}{dx} no ponto (1,1).
Informações relevantes que temos:
A equação relaciona x e y e define y como função diferenciável de x perto de (1,1).
O ponto onde devemos avaliar é (x,y)=(1,1).
Precisamos usar o Teorema 8 (que trata de diferenciação implícita) para achar \dfrac{dy}{dx}.
Passo 2
Explicando o Teorema 8 de forma prática e por que ele funciona (aula rápida e calma):
Seja uma função F(x,y) com derivadas parciais contínuas. Se a equação
F(x,y)=0
define y como uma função diferenciável de x perto de um ponto e se \dfrac{\partial F}{\partial y}\neq0 nesse ponto, então podemos diferenciar implicitamente e obter
O que são \dfrac{\partial F}{\partial x} e \dfrac{\partial F}{\partial y}? São as derivadas parciais de F: para \dfrac{\partial F}{\partial x} trata-se da taxa de variação de F quando x varia e y é mantido fixo; para \dfrac{\partial F}{\partial y} é a taxa quando y varia e x é mantido fixo.
Por que a fórmula? Diferenciando F(x,y(x))=0 em relação a x, pela regra da cadeia,